CF1948

A

题意：定义一个字符是特殊的，当且仅当它左右两边恰有一个字符与之相同。要求构造一个字符串，使得恰好有 $n$ 个特殊字符，或判断无解。

考虑一个连续的字符段，如果长度 $1$，不贡献特殊字符；否则必然贡献 $2$ 个。所以无解条件就是 $2\nmid n$。

否则可以用 AABAABAABAAB... 构造。

B

题意：给定一个序列。可以选择其中若干个数，将它们拆成它们的数位，例如把 123 拆成 1 和 2 和 3，然后放到它们原来的位置。问能否用这种方法使数组单调上升排序。

发现肯定只会把一个前缀拆成数位。

C

题意：给定一个 $2\times n$ 的字符图，每个字符为 > 或 <。初始在 $(1,1)$，每次可以向任意方向走一步，然后移到那个格子内字符指向的格子。问能不能到达 $(2,n)$。$n\le 2e5$。（就算走到了 $(2,n)$ 也会滑走，必须是滑到 $(2,n)$）

$slide[i][j]$ 表示如果滑到 $(i,j)$ 能不能到达 $(2,n)$，$walk[i][j]$ 表示如果走到 $(i,j)$ 能不能到达 $(2,n)$。

初始 $slide[2][n]=true$。

转移方程：$$slide[i][j]=walk[i-1][j]||walk[i+1][j]||walk[i][j-1]||walk[i][j+1]$$

$$walk[i][j]=slide[to(i)][to(j)]$$

这里 $to(i),to(j)$ 表示 $(i,j)$ 指向的格子的坐标。

用 BFS 转移。

D

题意：称一个字符串是好的，当且仅当它的长度是偶数且它的前一半等于后一半（不是回文！）。
给定字符串，其中有一些 ? 表示可以任意决定这个位置的字符。求最大的好的子串能有多长。$n\le 5000$。

其实正解非常简单。

从大到小枚举最大的好串长度的一半 $k$。我们要 $O(n)$ 判断 $k$ 可不可行。

如果 $s[i]=s[i+k]$，令 $vis[i]\leftarrow 1$；否则 $vis[i]\leftarrow 0$。则问题就变成判断是否有连续 $k$ 个 $1$。很简单。

E

题意：给定 $n$ 和 $k$，需要对每个点赋一个权值 $a_i$。$a_1\sim a_n$ 要构成一个 $1\sim n$ 的排列。赋值结束后，对于两个点 $i,j$，若 $|i-j|+|a_i-a_j|\le k$，在它们之间连边。定义一张图的权值为它的团的个数。找到一种方法使得图的权值最小。$n\le 40,k\le 2n$。

这个数据范围给的非常有迷惑性。

结论：团的个数最小为 $\lceil {\displaystyle \frac{n}{k}}\rceil$。

首先每个团内部的点个数 $\le k$，这是显然的。

其次，我们可以让 $1\sim k$ 号点对应的 $a_i$ 为 $1\sim k$，以此类推。然后我们只需要说明 $1\sim k$ 号点用 $1\sim k$ 的编号能构造一个大小为 $k$ 的团即可。

怎么构造呢？令 $m=\lceil {\displaystyle \frac{k}{2}}\rceil$，$a_1=m,a_2=m-1,\dots ,a_m=1,a_{m+1}=n,a_{m+2}=n-1,\dots ,a_n=m+1$。