P4139 上帝与集合的正确用法 题解

合集 - 一些数学的笔记(23)

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我觉得这题最有意思的其实是 "最终会固定为一个数" 这个结论。

扩展欧拉定理：$a^{b}modp$，当 $b\ge \phi (p)$ 时，$a^b\equiv a^{bmod\phi (p)+\phi (p)}(\mathrm{mod}p)$。

所以 $2^{2^{2^{\cdots }}}$ 可以递归求解。边界条件 $p=1$。

复杂度如何保证？其实就是算 $p=\phi (p)$ 会递归多少次。

发现：若 $2\mid p$，至少减半；否则，$2\mid \phi (p)$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e7 + 5;
typedef long long ll;

int T;
int p, phi[N];
bool isp[N] = {};
int cnt = 0, pr[N];

void init() {
    memset(isp, true, sizeof isp);
    isp[0] = isp[1] = false;
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= N - 5; i++) {
        if (isp[i]) {
            pr[++cnt] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 1; j <= cnt && pr[j] * i <= N - 5; j++) {
            isp[pr[j] * i] = false;
            if (i % pr[j] == 0) {
                phi[pr[j] * i] = phi[i] * pr[j];
                break;
            }
            phi[pr[j] * i] = phi[pr[j]] * phi[i];
        }
    }
}

ll fpow(ll a, ll b, ll p) {
    ll mul = 1;
    while (b) {
        if (b & 1)
            mul = mul * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return mul;
}

ll f(ll p) {
    if (p == 1)
        return 0;
    return fpow(2, f(phi[p]) + phi[p], p);
}

void write(__int128 x) {
    if (x < 0) {
        putchar('-');
        write(-x);
        return ;
    }
    if (x < 10) {
        putchar((char)(x + '0'));
        return ;
    }
    write(x / 10);
    putchar((char)(x % 10 + '0'));
    return ;
}

int main() {
    init();
	cin >> T;
	while (T--) {
        cin >> p;
//        cout << phi[p] << endl;
        cout << f(p) << endl;
	}
	return 0;
}