拓展中国剩余定理（EXCRT）

普通的 CRT 只能处理模数两两互质的情况，而 EXCRT 可以求得任意情况下同余方程组的通解。

思想：把两个同余方程合并成一个，直到剩下一个。

考虑两个同余方程 \(x\equiv p_1\pmod {m_1},x\equiv p_2\pmod {m_2}\)。

则 \(x=p_1+m_1A=p_2+m_2B\)。移项得 \(m_1A-m_2B=p_2-p_1\)。

这是一个经典的二元一次不定方程，用 exgcd 求出一个 \((A,B)\) 的特解，进而可以求出 \(x\) 的一个特解 \(x_0\)。

定理：若 \(\begin{cases}x\equiv p_1\pmod{m_1}\\x\equiv p_2\pmod{m_2}\end{cases}\) 有特解 \(x_0\)，则其通解为 \(x_0+k\cdot lcm(m_1,m_2)\)，\(k\in \mathbb{Z}\)。

证明：首先，\(x_0+k\cdot lcm(m_1,m_2)\) 满足同余方程组是显然的。只需要证明为什么没有其他形式的解。也就是为什么模 \(lcm(m_1,m_2)\) 的完全剩余系里，只有余 \(x_0\) 的才有解。

这个问题等价于证明 \(0\sim lcm(m_1,m_2)-1\) 中只有一个有解。

假设有两个解 \(x_1,x_2\)，有 \(x_1\equiv x_2\pmod {m_1}\) 和 \(x_1\equiv x_2\pmod{m_2}\)，所以 \(lcm(m_1,m_2)\mid (x_1-x_2)\)，而 \(x_1,x_2\) 均在 \([0,lcm(m_1,m_2)-1]\) 中，所以 \(x_1=x_2\)。证毕。

所以这两个同余方程可以合并为 \(x\equiv x_0\pmod {lcm(m_1,m_2)}\)。不断合并，直到只剩下一个 \(x\equiv X\)，\(X\) 即为最小非负整数解。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;

inline __int128 read()
{
    __int128 x=0,f=1;
    char ch;
    while(ch>'9'||ch<'0')
    {
        if(ch=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while('0'<=ch&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
                        
inline void write(__int128 x)
{
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>=10)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}

int n;
__int128 a[N], b[N];

typedef pair<__int128, __int128> pii;
queue<pii> q;

void exgcd(__int128 a, __int128 b, __int128 &x, __int128 &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1, y = 0;
		return ;
	}
	exgcd(b, a % b, x, y);
	__int128 x0 = x, y0 = y;
	x = y0;
	y = x0 - (a / b) * y0;
	return ;
}

__int128 gcd(__int128 a, __int128 b) {
	if (b == 0)
		return a;
	return gcd(b, a % b);
}

__int128 lcm(__int128 a, __int128 b) {
	return a * b / gcd(a, b);
}

void chk() {
	pii f1 = q.front();
	q.pop();
	pii f2 = q.front();
	q.pop();
	__int128 p1 = f1.first, m1 = f1.second, p2 = f2.first, m2 = f2.second;
	if ((p2 - p1) % gcd(m1, m2) != 0) {
		cout << "NIE\n";
		exit(0);
	}
	__int128 g = gcd(m1, m2), A, B;
	exgcd(m1 / g, m2 / g, A, B);
	__int128 t = p1 + (p2 - p1) / g * A * m1 % lcm(m1, m2);
	if (t >= 0)
		q.push(make_pair(t, lcm(m1, m2)));
	else {
		t += lcm(m1, m2);
		q.push(make_pair(t, lcm(m1, m2)));
	}
}

int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		b[i] = read();
		a[i] = read();
		q.push(make_pair(a[i], b[i]));
	}
	for (int i = 1; i < n; i++)
		chk();
	write(q.front().first);
	return 0; 
}