P3951 小凯的疑惑

合集 - 一些数学的笔记(23)

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题意：给出两个互质的正整数 $a,b$。求出最大的不能被表示为 $ax+by$ 且 $x,y\ge 0$ 的数。

结论：答案为 $ab-a-b$。

证明：不妨 $a<b$。设 $k$ 为答案。则 $k+a$ 肯定能被表示。（$k$ 最大）

$k+a=ax+by|x,y\ge 0$。所以 $k=a(x-1)+by$。因为 $k$ 不能被表示，所以 $x-1<0$，即 $x=0$。

故 $k=by-a$，设 $y=a+n$，其中 $n\ge -a$。（因为 $y\ge 0$）

$k=b(a+n)-a=ab-a+nb$，因为 $k$ 不能表示，$ab-a$ 能表示，所以 $nb$ 不能表示，所以 $n<0$。

当 $n=-1$ 时 $k$ 取到最大值。所以答案为 $ab-a-b$。

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另一种理解方式：同余最短路。

建立 $b$ 个点，第 $i:0\sim b-1$ 个点表示一个模 $b$ 余 $i$ 的同余类。

假设答案模 $b$ 余 $k$，则答案一定等于 $di{s}_k-b$。$di{s}_k$ 取最大值为 $a(b-1)$，因为 $(a,b)=1\Rightarrow \text{这张图是一个环}$。

点 $i$ 向 $(i+a)modb$ 连长度 $a$ 的边。从 $0$ 出发跑最短路。

此时 $di{s}_i$ 就表示 $xmoda=0$ 且 $xmodb=i$ 的最小的自然数 $x$ 等于多少。