沪粤联赛 2024.2
用快速幂。
pair<ldb, ll> fpow(ldb a, int k) {
ll A = 0, R = 0;
while (a >= 10) {
a /= 10;
A++;
}
ldb r = 1.0;
while (k) {
if (k&1) {
r = r * a;
R += A;
while (r >= 10) {
r /= 10;
R++;
}
}
k >>= 1;
a = a * a;
A *= 2;
while (a >= 10) {
a /= 10;
A++;
}
}
return {r, R};
}
注意这里一定要用 long double a，不要偷懒用两个变量只记录整数和小数后一位。
总有一个最优解，直线经过至少两条线段的端点。
于是枚举是哪两条线段的端点，然后枚举所有线段，判断直线是否经过。
如何判断一条直线是否经过一条线段？当然可以直接解析式求交点是否在范围内，但这里有一种不用推式子、精度损失，用到向量的方法。
首先判断是否有端点在直线上。
如若没有，就要判断端点是否在直线两侧。设端点为 \(l,r\)，在直线上取两个点 \(p_1,p_2\)。记 \(p_1(x_1,y_1),p_2(x_2,y_2),l(x_l,y_l),r(x_r,y_r)\)。只需要判断 \((p_1,p_2,l),(p_1,p_2,r)\) 这两个三角形的有向面积是否一正一负。若是，则表示端点在直线两侧；否则在同侧。
为什么？因为如果在直线两侧，这两个三角形的方向，也就是相对于直线的顺/逆时针方向是不同的，那顺时针的有向面积应该是负数，逆时针的应该是正数。
怎么求三角形的有向面积？若以 \(p_1\) 为原点，则 \(p_2,p_{l/r}\) 相对于 \(p_1\) 都有各自的向量：\((x_2-x_1,y_2-y_1),(x_l-x_1,y_l-y_1),(x_r-x_1,y_r-y_1)\)。
\(p_1\rightarrow p_2\rightarrow p_l\) 的有向面积，可以用 \(p_2,p_l\) 的向量叉积求出：\((x_2-x_1)(y_l-y_1)-(x_l-x_1)(y_2-y_1)\)。另一个三角形也是如此。判断这两个值是否一正一负即可。
容斥原理套 DP。
Nim 游戏：若每一堆石子数量的异或非 \(0\)，则先手必胜。
如果只有操作 \(3\)。\(w_x=w_x\bigoplus a_x\bigoplus (a_x+k)\)。简单。
加上操作 \(1\)，可以用启发式合并，显然兼容操作 \(3\)。
操作 \(2\)：可以用 01Trie 维护区间 \(+1\)！
从低到高插入数，建立 01Trie。一次全局 \(+1\)，等价于交换 \(0,1\) 子树，然后沿着此时的 \(0\) 边继续递归交换左右儿子。
显然 01Trie 也能删除、插入和启发式合并。
对于
