CF10E 题解

传送门

有 $n$ 种货币。找一个最小的金额 $x$，使得贪心法付款不是最优解；如果贪心法始终都是最优解，输出 $-1$。$(n\le 400)$

将货币集合记作一个 $n$ 维向量 $C=(c_1,c_2,\dots ,c_n)$。对于金额 $x$ 的一个表示法，也记作一个 $n$ 维向量 $V$。即 $C\times V=x$。

记金额 $x$ 的贪心表示法为 $G(x)$，最小表示法为 $M(x)$。同时要求这两个表示法都是字典序最大的。

易证 $G(x)$ 的子集也是贪心表示，$M(x)$ 的子集也是最小表示。

设 $w$ 是最小的使得 $G(w)\ne M(w)$ 的金额。因为 $w$ 最小，所以 $G(w),M(w)$ 一定不存在一个维度上都是非零的，否则可以让 $w$ 更小。

设 $i,j$ 是 $M(w)$ 的最小和最大的非零位。（比如 $M(w)=(0,1,1,0,2,0)$ 中 $i=2,j=5$）

结论：$M(w)$ 和 $G(c_{i-1}-1)$的 $1,\dots ,j-1$位相同，第 $j$ 位大 $1$。

证明：

$G(w)$ 在 $1\sim i-1$ 维上一定有非零的，否则因为非零位无交，$G(w)$ 的第 $i$ 维一定是 $0$，但是因为 $M(w)$ 第 $i$ 维非零，所以 $w\ge c_{i-1}$，与贪心法矛盾。所以 $w\ge c_{i-1}$。（1）

因为 $w$ 是最小的，所以 $G(w-c_j)=M(w-c_j)$。因为 $i$ 是 $M(w)$ 最小的非零位，且 $M(w),M(w-c_j)$ 的区别只有第 $j$ 维差一，所以 $M(w-c_j)$ 的前 $i-1$ 位都是 $0$。

$G(w-c_j)=M(w-c_j)$ 得出 $G(w-c_j)$ 的前 $i-1$ 位都是 $0$。所以 $w-c_j<c_{i-1}$。（2）

由（1）：$c_{i-1}-1-c_i<w-c_i$。所以 $G(c_{i-1}-1-c_i)<G(w-c_i)=M(w-c_i)$，两边都给第 $i$ 位加一，得到 $G(c_{i-1}-1)<M(w)$。（3）

由（2）有 $w-c_j\le c_{i-1}-1$，则 $G(w-c_j)\le G(c_{i-1}-1)$，所以 $M(w-c_j)\le G(c_{i-1}-1)$。（4）

结合（3）（4），发现 $M(w-c_j)\le G(c_{i-1}-1)<M(w)$。

这说明第 $j$ 维的变动会导致它们大小关系变化，因此 $M(w),G(w)$ 的前 $j-1$ 维相等。而 $M(w)$ 在第 $j$ 维之后都是 $0$（因为 $j$ 是最大的非零位），因此 $M(w)$ 的第 $j$ 维大于 $G(w)$ 的第 $j$ 维。

那有没有可能 $M(w).j-G(w).j\ge 2$ 呢？不可能，因为 $w-c_j<c_{i-1}\le w$。

于是我们证明了这个结论。（是不是都忘记我们要证明什么了？）

但是怎么转换到代码上？

int G(int x) { //x用贪心法的答案 
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int d = x / c[i];
		ans += d;
		x -= c[i] * d;
	}
	return ans;
}
//...
int ans = 0x3f3f3f3f;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		int x = c[i - 1] - 1;
		int cnt = 0; //把j理解成可以用到哪一位,cnt会维护贪心法的答案
		for (int j = i; j <= n; j++) {
			int d = x / c[j];
			cnt += d;
			x -= c[j] * d; //维护i~j贪心法答案
			if (cnt + 1 < G(c[i - 1] - 1 - x + c[j]))
				ans = min(ans, c[i - 1] - 1 - x + c[j]); 
        //因为M(w)和G(c[i-1]-1)只有第j维相差1，所以M(w)的数量就是cnt+1
        //此时cnt对应的w=c[i-1]-1-x+c[j],因为cnt维护的是i~j维的贪心法，所以要减去x；但是因为M(w)比G(c[i-1]-1)的第j维大1,所以要+c[j]
		}
	}