GDOI2024 考前模拟2 T2

题目描述

题解

考虑黑用 $1$ 表示，白用 $0$ 表示，那么Alice要赢，就意味着每条边 $x\to y$ 等价于 $clr[x]\le clr[y]$。连边也就是 $\le$ 的关系。

不妨编号从 $0$ 开始，题目的染色方式则意味着 $clr[x]\ne clr[x⨁1]$。那么原图里有 $x\to y$ 这样的一条边，等同于需要添加 $x⨁1\leftarrow y⨁1$。
需要注意，Bob 可以任意操控他能染的点。也就是说，若 $x$ 是 Alice 负责的，$y$ 是 Bob 负责的，并且 $x<y$，$x$ 和 $y$ 之间有直接的边。那么 Alice 给 $x$ 染完，必须不能留给 Bob 染 $y$ 就赢的可能性。换句话说，如果是 $x\to y$，则 Alice 必须给 $x$ 染白色。如果是 $x\leftarrow y$，则 Alice 必须给 $x$ 染黑色。
换成我们图里面的语言，就是对于这样的情况，额外添加一条 $x$ 和 $x⨁1$ 之间的边。方向依据上面的讨论（之间的方向）而定。建完边，跑 SCC 缩点。
最后是检查工作：

1. 假如存在 $x$ 和 $x⨁1$ 位于 tarjan 缩点后的同一个连通块，那么无论如何 Alice 都是输的。因为同一个连通块等价于必有 $clr[x]=clr[x⨁1]$。
2. 再次强调 Bob 的控制能力。假如存在 $x,y$ 都是 Bob 负责的，且 $x$ 到 $y$ 有路径，那么 Bob 可以直接使 $clr[x]>clr[y]$，Alice 就输了。
   假如到这里还没出现问题，我们断言 Alice 可以赢。因为 Alice 只要根据图的限制，把自己负责的点都染好，Bob 是没有赢的办法的.