USACO 2024年2月月赛
观察发现，所有靶子右上角必须斜率负数，右下角必须斜率正数，左端点没有要求。先判断斜率中负数和正数的数量是否都达到 \(n\)，否则无解。
其次，如果现在有两条线和两个 \(x\) 相等的点，斜率较大的线配了 \(y\) 较小的点。交换这两个匹配，发现让两个与 \(y\) 轴的交点更靠近了。由此得出结论：对于 \(x\) 相等的两个点，\(y\) 越大，配的斜率也要越大。
因此，记一共有 \(neg\) 个斜率为负数的直线，则所有左端点中 \(y\) 值最小的 \(neg-n\) 个点配的是斜率负数的直线，剩下的左端点配的是斜率正数的直线。
斜率为正为负可以独立计算。我们只需要算出 斜率负数中与 \(y\) 轴最高的交点最低是多少 和 斜率正数中与 \(y\) 轴最低的交点最高是多少，两者做差即可。
因为两种情况是对称的，这里只写斜率正数的情况。
把斜率从大到小排序，从大到小遍历，对于每个斜率，暴力找到当前还没匹配好的、与它构成的截距最高的点，同时与它匹配。
这个贪心为什么正确？
反证法。假如有两个斜率 \(s_i>s_j\)，交换了之后可以使两个截距的距离缩短。交换了之后，显然 \(s_i\) 的截距会变低，否则与我们的贪心法矛盾了。那 \(s_j\) 的截距应该低得更多。但是设 \(s_i\) 在贪心法中配对的是 \((x,y)\)，则它的截距是 \(y-s_ix\)，现在 \(s_j\) 的截距是 \(y-s_jx\)，由于 \(s_i>s_j\)，所以 \(s_j\) 的截距反而变高了，矛盾。贪心法正确。
正确是正确，但是每次暴力找点，一共找 \(n\) 次，复杂度 \(O(n^2)\) 会爆掉。
观察问题：“最低的最高是多少”，这就是二分的经典语句。于是考虑二分这个最高的值 \(y\)，于是可以通过 \(b=y-s_ix\le y_{max}\) 求出每个点的 \(s_i\) 应该 \(\ge\) 某个数，然后再排个序看下是否能满足每个 \(s_i\) 的 \(\ge\) 条件即可。
把一个颜色段看作一个球。现在有三个栈。初始 \(1,2\) 有球，\(3\) 空。
依次判断。
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如果 \(1,2\) 中都只有一种颜色且 \(3\) 空，结束。
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若 \(1,2\) 的栈顶元素不一样且 \(3\) 为空时，把 \(1,2\) 中球数量多的那个栈的栈顶放到 \(3\) 里。
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否则先判断是否三个栈都非空，若是：
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若 \(1,2\) 的栈顶相同，球较多的 pop 栈顶。
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若 \(1,3\) 或 \(2,3\) 的栈顶相同，不妨 \(1,3\) 的栈顶相同。记这个栈顶球颜色为 \(clr\)。若 \(1\) 只剩这一个球且 \(clr\) 仅剩 \(1,3\) 这两个球，则 \(3\) 弹栈；否则 \(1\) 弹栈。
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若不是：
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若 \(3\) 为空，则此时 \(1,2\) 的栈顶相同，令 \(1,2\) 中较多的弹栈。
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否则不妨 \(1\) 空。判断：
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若 \(2,3\) 都仅剩一个球，令 \(3\) 的栈顶进入 \(1\)；
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若 \(2,3\) 栈顶相同，令 \(3\) 弹栈。
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否则，令 \(2\) 的栈顶进入 \(1\)。
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以下一切都在 Bessie 采用了最佳策略，即 Elsie 的最差情况下考虑。
令 \(chg[i][0]\) 表示第 \(i\) 轮猜偶数的最大收益（可能为负数），\(chg[i][1]\) 表示第 \(i\) 轮猜奇数的最大收益。
令 \(i\leftarrow 1\sim m\)，每次执行如下操作：
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如果选 Even，之后还能构造出一种可行方案，选 Even，并更新当前血量；
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如果选 Odd，之后还能构造出一种可行方案，选 Odd，并更新当前血量；
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否则，无解。
现在的问题就是怎么判断之后是否有可行方案。记当前血量是 \(now\)，“之后存在一种可行方案” 等价于 “如果之后 Elsie 都采取最优方案，不会血量归零”。
Elsie 的最优方案是什么？即每一个回合若 \(chg[i][0]>chg[i][1]\)，则猜 \(0\)；否则猜 \(1\)。
考虑另外一个数组 \(mn[i]\)：\(mn[i]=\displaystyle\min(0,\min_{j=i}^{m}\{\sum_{k=i}^j\max(chg[k][0],chg[k][1])\})\)，即一个最小前缀。
显然这个数组是可以 \(O(m)\) 从 \(m\) 到 \(1\) 地递推的。
如果现在是第 \(i\) 轮，当前血量是 \(now\)，则 “猜偶数之后存在可行方案” 等价于 “\(now+chg[i][0]+mn[i+1]>0\)”，猜奇数同理。
