USACO 2024年2月月赛

S1

观察发现，所有靶子右上角必须斜率负数，右下角必须斜率正数，左端点没有要求。先判断斜率中负数和正数的数量是否都达到 $n$，否则无解。

其次，如果现在有两条线和两个 $x$ 相等的点，斜率较大的线配了 $y$ 较小的点。交换这两个匹配，发现让两个与 $y$ 轴的交点更靠近了。由此得出结论：对于 $x$ 相等的两个点，$y$ 越大，配的斜率也要越大。

因此，记一共有 $neg$ 个斜率为负数的直线，则所有左端点中 $y$ 值最小的 $neg-n$ 个点配的是斜率负数的直线，剩下的左端点配的是斜率正数的直线。

斜率为正为负可以独立计算。我们只需要算出 斜率负数中与 $y$ 轴最高的交点最低是多少 和 斜率正数中与 $y$ 轴最低的交点最高是多少，两者做差即可。

因为两种情况是对称的，这里只写斜率正数的情况。

把斜率从大到小排序，从大到小遍历，对于每个斜率，暴力找到当前还没匹配好的、与它构成的截距最高的点，同时与它匹配。

这个贪心为什么正确？

反证法。假如有两个斜率 $s_i>s_j$，交换了之后可以使两个截距的距离缩短。交换了之后，显然 $s_i$ 的截距会变低，否则与我们的贪心法矛盾了。那 $s_j$ 的截距应该低得更多。但是设 $s_i$ 在贪心法中配对的是 $(x,y)$，则它的截距是 $y-s_{i}x$，现在 $s_j$ 的截距是 $y-s_{j}x$，由于 $s_i>s_j$，所以 $s_j$ 的截距反而变高了，矛盾。贪心法正确。

正确是正确，但是每次暴力找点，一共找 $n$ 次，复杂度 $O(n^2)$ 会爆掉。

观察问题：“最低的最高是多少”，这就是二分的经典语句。于是考虑二分这个最高的值 $y$，于是可以通过 $b=y-s_{i}x\le y_{max}$ 求出每个点的 $s_i$ 应该 $\ge$ 某个数，然后再排个序看下是否能满足每个 $s_i$ 的 $\ge$ 条件即可。

S2

把一个颜色段看作一个球。现在有三个栈。初始 $1,2$ 有球，$3$ 空。

依次判断。

1. 如果 $1,2$ 中都只有一种颜色且 $3$ 空，结束。

2. 若 $1,2$ 的栈顶元素不一样且 $3$ 为空时，把 $1,2$ 中球数量多的那个栈的栈顶放到 $3$ 里。

3. 否则先判断是否三个栈都非空，若是：

   1. 若 $1,2$ 的栈顶相同，球较多的 pop 栈顶。

   2. 若 $1,3$ 或 $2,3$ 的栈顶相同，不妨 $1,3$ 的栈顶相同。记这个栈顶球颜色为 $clr$。若 $1$ 只剩这一个球且 $clr$ 仅剩 $1,3$ 这两个球，则 $3$ 弹栈；否则 $1$ 弹栈。

4. 若不是：

   1. 若 $3$ 为空，则此时 $1,2$ 的栈顶相同，令 $1,2$ 中较多的弹栈。

   2. 否则不妨 $1$ 空。判断：

      1. 若 $2,3$ 都仅剩一个球，令 $3$ 的栈顶进入 $1$；

      2. 若 $2,3$ 栈顶相同，令 $3$ 弹栈。

      3. 否则，令 $2$ 的栈顶进入 $1$。

S3

以下一切都在 Bessie 采用了最佳策略，即 Elsie 的最差情况下考虑。

令 $chg[i][0]$ 表示第 $i$ 轮猜偶数的最大收益（可能为负数），$chg[i][1]$ 表示第 $i$ 轮猜奇数的最大收益。

令 $i\leftarrow 1\sim m$，每次执行如下操作：

1. 如果选 Even，之后还能构造出一种可行方案，选 Even，并更新当前血量；

2. 如果选 Odd，之后还能构造出一种可行方案，选 Odd，并更新当前血量；

3. 否则，无解。

现在的问题就是怎么判断之后是否有可行方案。记当前血量是 $now$，“之后存在一种可行方案” 等价于 “如果之后 Elsie 都采取最优方案，不会血量归零”。

Elsie 的最优方案是什么？即每一个回合若 $chg[i][0]>chg[i][1]$，则猜 $0$；否则猜 $1$。

考虑另外一个数组 $mn[i]$：$mn[i]={\displaystyle min(0,\underset{j=i}{\overset{m}{min}}\{\sum _{k=i}^{j}max(chg[k][0],chg[k][1])\})}$，即一个最小前缀。

显然这个数组是可以 $O(m)$ 从 $m$ 到 $1$ 地递推的。

如果现在是第 $i$ 轮，当前血量是 $now$，则 “猜偶数之后存在可行方案” 等价于 “$now+chg[i][0]+mn[i+1]>0$”，猜奇数同理。