数学变换工具

狄利克雷卷积：$(f\ast g)(n)=\sum _{d|n}f(d)\times g({\displaystyle \frac{n}{d}})$。两积性函数的狄利克雷卷积还是积性函数。

数列的卷积：$(a\ast b{)}_n=\sum _{i=1}^n{a}_i\times b_{n-i+1}$。

数列的二项式卷积：$(a\ast b{)}_n=\sum _{i=0}{(}_i^n)a_i{b}_{n-i}$

莫比乌斯定义：$$\sum _{d|n}\mu (d)=\epsilon (n)\Rightarrow \sum [x=1]=\sum \sum _{d|x}\mu (d)$$

莫比乌斯反演：$$g(n)=\sum _{d|n}f(d)⟺f(d)=\sum _{d|n}\mu (d)\times g({\displaystyle \frac{n}{d}})=\mu \ast g\text{(狄利克雷卷积)}$$

二项式反演：$$g(n)=\sum _{i=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\cdot f(i)⟺f(n)=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\cdot g(i)$$

子集反演：$$g(S)=\sum _{T\subseteq S}f(T)⟺f(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|S|-|T|}g(T)$$

$$g(S)=\sum _{S\subseteq T}f(T)⟺f(S)=\sum _{S\subseteq T}(-1{)}^{|T|-|S|}g(T)$$

二项式定理：$(a+b{)}^n$ 的第 $i$ 项系数为 ${(}_i^n)$。

容斥原理：并转交。

min-max 容斥：

$$max(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}min(T)$$

$$min(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}max(T)$$

$$E(max(S))=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}E(min(T))$$

$$E(min(S))=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}E(max(T))$$