数学变换工具
狄利克雷卷积:\((f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)\times g(\dfrac{n}{d})\)。两积性函数的狄利克雷卷积还是积性函数。
数列的卷积:\((a*b)_n=\sum_{i=1}^n a_i\times b_{n-i+1}\)。
数列的二项式卷积:\((a*b)_n=\sum_{i=0} (^n_i)a_ib_{n-i}\)
莫比乌斯定义:$$\sum_{d|n}\mu(d)=\varepsilon(n)\Rightarrow \sum [x=1]=\sum\sum_{d|x} \mu(d)$$
莫比乌斯反演:$$g(n)=\sum_{d|n}f(d)\iff f(d)=\sum_{d|n}\mu(d)\times g(\dfrac{n}{d})=\mu*g\ \text{(狄利克雷卷积)}$$
二项式反演:$$g(n)=\sum_{i=1}^n C_n^i\cdot f(i)\iff f(n)=\sum_{i=1}^n (-1)^{n-i} C_n^i \cdot g(i)$$
子集反演:$$g(S)=\sum_{T\subseteq S}f(T)\iff f(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}g(T)$$
\[g(S)=\sum_{S\subseteq T}f(T)\iff f(S)=\sum_{S\subseteq T}(-1)^{|T|-|S|}g(T)
\]
二项式定理:\((a+b)^n\) 的第 \(i\) 项系数为 \((^n_i)\)。
容斥原理:并转交。