数学变换工具

狄利克雷卷积：\((f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)\times g(\dfrac{n}{d})\)。两积性函数的狄利克雷卷积还是积性函数。

数列的卷积：\((a*b)_n=\sum_{i=1}^n a_i\times b_{n-i+1}\)。

数列的二项式卷积：\((a*b)_n=\sum_{i=0} (^n_i)a_ib_{n-i}\)

莫比乌斯定义：$$\sum_{d|n}\mu(d)=\varepsilon(n)\Rightarrow \sum [x=1]=\sum\sum_{d|x} \mu(d)$$

莫比乌斯反演：$$g(n)=\sum_{d|n}f(d)\iff f(d)=\sum_{d|n}\mu(d)\times g(\dfrac{n}{d})=\mu*g\ \text{(狄利克雷卷积)}$$

二项式反演：$$g(n)=\sum_{i=1}^n C_n^i\cdot f(i)\iff f(n)=\sum_{i=1}^n (-1)^{n-i} C_n^i \cdot g(i)$$

子集反演：$$g(S)=\sum_{T\subseteq S}f(T)\iff f(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}g(T)$$

\[g(S)=\sum_{S\subseteq T}f(T)\iff f(S)=\sum_{S\subseteq T}(-1)^{|T|-|S|}g(T) \]

二项式定理：\((a+b)^n\) 的第 \(i\) 项系数为 \((^n_i)\)。

容斥原理：并转交。