AGC005D 题解
如果一个排列 \(P\) 满足对于所有的 \(i\) 都有 \(|P_i-i|\neq k\)，则称排列 \(P\) 为合法的。现给出 \(n\) 和 \(k\)，求有多少种合法的排列。
由于答案很大,请输出答案对 \(924844033\) 取模的结果。
\(2\leq n\leq 2\times 10^3\)，\(1\leq k\leq n-1\)。
一个新的trick：考虑一个 \(n\times n\) 的方格，要求选一些格子，每行每列恰好一个。如果第 \(i\) 行选了 \((i,j)\)，表示 \(P_i=j\)。
\(|P_i-i|\neq k\iff \text{第 i 行有至多两个位置不能选}\)。
问题变成：给定 \(n\times n\) 的方格图，有一些格子不能选。求选若干个格子，每行每列恰好一个的方案数。
考虑容斥，总方案数显然是 \(n!\)。
令 \(S_i\) 为 所有选了,第 \(i\) 个不能选的格子,的方案 的集合，则 \(ans=n!-|S_1\cup S_2\cup S_3\cup\cdots|\)
容斥一下。问题变成对于每个 \(k\)，求 \(\sum_{\{i1\dots ik\}} |S_{i1}\cap S_{i2}\cap \cdots\cap S_{ik}|\)
单看 \(\sum\) 里面的，我们好像要单独求出每一种 \(k\) 个不能选的格子强制选的方案数。但这一整个 \(sum\) 可以一起算，即 “从不能选的格子里选 \(k\) 个，剩下随便选，满足每行每列一个” 的方案数，记这个问题为 ①。
设 \(f_i\) 表示“从不能选的格子里选 \(i\) 个满足每行每列最多 \(1\) 个”的方案数。
则 ① 的答案是 \(f_k\times (n-k)!\)。现在就是求 \(f_k\) 了。
如果把两个同行（或同列）的不能选的格子之间连边，发现构成了若干条“链”。每行每列最多 \(1\) 个的条件，等价于每条链上不能选相邻的。
如果只有一条链，是很经典的 DP：\(dp[i][j][0/1]\) 表示前 \(i\) 个结点选 \(j\) 个且第 \(i\) 个结点选/不选，满足相邻的不选 的方案数。
如果有多条链，可以用一个trick：在每条链的尾巴接一个结点，让这个结点接到下一条链的开头，同时强制规定这个结点不选。
