AGC005D 题解

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如果一个排列 $P$ 满足对于所有的 $i$ 都有 $|P_i-i|\ne k$，则称排列 $P$ 为合法的。现给出 $n$ 和 $k$，求有多少种合法的排列。

由于答案很大,请输出答案对 $924844033$ 取模的结果。

$2\le n\le 2\times {10}^3$，$1\le k\le n-1$。

一个新的trick：考虑一个 $n\times n$ 的方格，要求选一些格子，每行每列恰好一个。如果第 $i$ 行选了 $(i,j)$，表示 $P_i=j$。

$|P_i-i|\ne k⟺\text{第 i 行有至多两个位置不能选}$。

问题变成：给定 $n\times n$ 的方格图，有一些格子不能选。求选若干个格子，每行每列恰好一个的方案数。

考虑容斥，总方案数显然是 $n!$。

令 $S_i$ 为 所有选了,第 $i$ 个不能选的格子,的方案 的集合，则 $ans=n!-|S_1\cup S_2\cup S_3\cup \cdots |$

容斥一下。问题变成对于每个 $k$，求 $\sum _{\{i1\dots ik\}}|S_{i1}\cap S_{i2}\cap \cdots \cap S_{ik}|$

单看 $\sum$ 里面的，我们好像要单独求出每一种 $k$ 个不能选的格子强制选的方案数。但这一整个 $sum$ 可以一起算，即 “从不能选的格子里选 $k$ 个，剩下随便选，满足每行每列一个” 的方案数，记这个问题为 ①。

设 $f_i$ 表示“从不能选的格子里选 $i$ 个满足每行每列最多 $1$ 个”的方案数。

则 ① 的答案是 $f_k\times (n-k)!$。现在就是求 $f_k$ 了。

如果把两个同行（或同列）的不能选的格子之间连边，发现构成了若干条“链”。每行每列最多 $1$ 个的条件，等价于每条链上不能选相邻的。

如果只有一条链，是很经典的 DP：$dp[i][j][0/1]$ 表示前 $i$ 个结点选 $j$ 个且第 $i$ 个结点选/不选，满足相邻的不选 的方案数。

如果有多条链，可以用一个trick：在每条链的尾巴接一个结点，让这个结点接到下一条链的开头，同时强制规定这个结点不选。