P7154 Sleeping Cows 题解

传送门

题意：给定两个数组 $a_i,b_i$，若 $a_i\le b_j$，则他俩可配对。求极大匹配的方案数。（极大不是最大，最大一定是极大）

先考虑最大匹配方案数怎么求。

把 $a$ 和 $b$ 从小到大排序。则每个 $a_i$ 能匹配的 $b$ 都是一段后缀，且随着 $i$ 增大，这个后缀越来越小。

于是从 $a_n$ 向 $a_1$ 遍历，如果现在遍历到 $a_i$，且 $a_i$ 能匹配 $b_j\sim b_n$。令答案乘以 $(n-j+1)-(i-1)$，即原本 $n-j+1$ 个选择，前面的消耗了 $i-1$ 个。

接下来考虑极大匹配方案数。

怎么描述一个匹配是 “极大” 的？

对于一个匹配，找到其最小的没有匹配上的 $a_i$ 和最大的没有匹配上的 $b_j$。若 $a_i$ 和 $b_j$ 无法匹配，则这个匹配就是极大的。

证明：因为 $a_i,b_j$ 无法匹配，则 $a_{i+1\sim n},b_{1\sim j-1}$ 也都无法匹配了。

于是枚举最小的没匹配上的 $a_i$，由此求出最小的能匹配上 $a_i$ 的 $b_t$。显然 $b_{t\sim n}$ 必须满配，否则 $a_i$ 与它们之一可以使匹配数量加一。

同时注意 $a_{1\sim i-1}$ 也要满配，不然与 $a_i$ 的 “最小” 矛盾。

因此枚举完 $a_i$，再枚举 $a_{1\sim i-1}$ 和 $b_{t\sim n}$ 之间匹配的对数 $j$。（显然这里要满足 $j\le min(i-1,n-t+1)$）

假如能求出两个数组：$f[i][j]$ 表示 $b_1\sim b_i$ 配出去 $j$ 条边的方案数；$g[i][j]$ 表示 $a_{i+1}\sim a_n$ 配出去 $j$ 条边的方案数。

则答案即为 $$\sum _{i,j}f[t-1][i-1-j]\cdot g[i+1][(n-t+1)-j]\cdot j!$$

解释一下。$\sum _{i,j}$ 就是枚举 $i,j$。既然 $a_1\sim a_{i-1},b_t\sim b_n$ 匹配了 $j$ 条，且它们俩都要满配，所以 $a_1\sim a_{i-1},b_1\sim b_{t-1}$ 匹配了 $(i-1)-j$ 条，$a_{i+1}\sim b_t\sim b_n$ 匹配了 $(n-t+1)-j$ 条。

而 $a_1\sim a_{i-1},b_1\sim b_{t-1}$ 匹配了 $(i-1)-j$ 条的方案数恰好就是 $f[t-1][(i-1)-j]$。

为什么？$f$ 的定义是 $b_1\sim b_{t-1}$ 能匹配 $a_1\sim a_n$，现在只匹配 $a_1\sim a_{i-1}$，为什么对？

这是因为 $b_t$ 已经是最小的能匹配 $a_i$ 的了。所以 $b_1\sim b_{t-1}$ 都匹配不了 $a_i$，所以 $b_1\sim b_{t-1}$ 实际上也就只能匹配 $a_1\sim a_{i-1}$。

同理，$a_{i+1}\sim b_t\sim b_n$ 匹配了 $(n-t+1)-j$ 条 的方案数是 $g[i+1][(n-t+1)-j]$。

在 $a_{i+1}\sim a_n,b_1\sim b_{t-1}$ 匹配完上面的之后，$a_1\sim a_{i-1},b_t\sim b_n$ 都还剩 $j$ 个没匹配。因为 $a_i$ 都能匹配 $b_t\sim b_n$，所以 $a_1\sim a_{i-1},b_t\sim b_n$ 就是随便匹配，方案数是 $j!$。

总结：要学会排序简化计数。要学会用 DP 预处理辅助数组，加速计数。