基环树处理方法

无向基环树找环，遍历模板：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int n;
vector<int> e[500005];
bool vis[500005] = {}, stk[500005] = {}, cir[500005] = {};

//stk是搜索栈，作用是避免在找环时从up找到了一条去dn的边，导致up以为自己的nxt是dn
int up, dn, nxt[500005], lvl[500005];
void fnd(int x, int pr, int lv) {
	/*
	找到环最下面的点之后，令 cir[dn]=true
	之后只要自己的子节点有 cir=true 的，则自己的 cir=true，如果子节点是up例外 
	*/ 
	vis[x] = stk[x] = true;
	lvl[x] = lv;
	for (int i = 0; i < e[x].size(); i++)
		if (!vis[e[x][i]]) {
			fnd(e[x][i], x, lv + 1);
			if (cir[e[x][i]] && e[x][i] != up)
				cir[x] = true, nxt[x] = e[x][i];
		}
		else if (e[x][i] != pr && stk[e[x][i]]) 
			dn = x, up = e[x][i], cir[x] = true, nxt[x] = e[x][i];      
	stk[x] = false;
}
int main() 
{
	cin >> n;
	for (int i = 1, u, v; i <= n; i++) {
		cin >> u >> v;
		e[u].push_back(v);
		e[v].push_back(u);
	}
    return 0;
}

法一：环套树。

把基环树看作一个环上吊了几棵树，在处理时遍历环上每个点，处理出每棵树的答案，然后做环形的操作。

缺点：只能处理基环树，如果是仙人掌就不适用了。

例子：城市环路

法二：树回边。

以深搜树的方式看待，用处理树的方式（比如树形 DP）。在遇到环上深度最浅的结点的时候，让它把下方的环的结果当作一颗子树汇报给父节点。

这样就可以处理仙人掌了。

这种方式把树的结构视为重点，只是多了几条回边。

Island

翻译：求出基环森林中，每颗基环树的直径之和。（带权）

考虑一颗基环树怎么求直径。

先用深搜树找环，记那个环在深搜树中深度最浅/深的结点为 $u p / d w$ ，那条回边为 $b k$ ，深搜树中结点 $x$ 的带权深度为 $l v l [x]$ ，一个环上的点 $x$ 在深搜树中在环上的儿子为 $c s [x]$ 。

直径分为两类：一类过 $b k$ ，一类不过 $b k$ 。不过 $b k$ 的一类就是树的直径，很简单。

对于过 $b k$ ，必然可以看作 $b k$ + $u p, d w$ 拓展出去的两条链的形式。假设 $u p$ 在环上走到结点 $x$ 然后离开了环， $d w$ 在 $y$ 离开了环。

$x$ 和 $y$ 之后的命运就已经是树的直径了，在上面已经处理过。唯一不同的就是统计环上的边。 $u p \to x$ 的长度是 $l v l [x] - l v l [u p]$ ， $d w \to y$ 的长度是 $l v l [d w] - l v l [y]$ 。

记 $d p 1 [x] = l v l [x] - l v l [u p] + x 脱离环后的最长路径, d p 2 [x] = l v l [d w] - l v l [x] + x 脱离环后的最长路径$ 。同时类似前缀和优化，因为环在深搜树上可以看作一条链 + $b k$ ，所以额外算一个 $m x [x]$ 表示 $max (d p 2 [x], d p 2 [c s [x]], d p 2 [c s [c s [x]]], \dots, d p 2 [d w])$ 。

于是可以枚举 $x$ 的位置，用 $b k + d p 1 [x] + m x [c s [x]]$ 快速求出 $u p$ 从 $x$ 离开环的最大路径长度。

但是还有一种情况没考虑：若 $x = u p$ ，即 $u p$ 直接从原地离开环，并且往祖先方向走。我们的 $d p 1, d p 2, m x$ 都是以 "子树" 来描述的，不包括往祖先走的情况。~~（虽然不考虑这种情况疑似还有 80）~~

法一：用类似换根 DP 的方法，单独处理出 $u p$ 向上的长度。但是这违背了我们的初衷：还是把环上的点特殊化了，而且如果要拓展到仙人掌，就要对每个环上最浅的点都做一遍，很麻烦。虽然也是正确的，但是这里不予采用。

法二：仍沿用树形 DP 的思路。 $u p$ 向上走的路径，负责结点不是 $u p$ ，而是这条路径上最浅的结点（LCA）。 $u p$ 只需要向上汇报在 $u p$ 的 “子树”（包括 $b k$ ）中的向下最长路径即可。

那么 $u p$ 向下的最长路径是多长呢？如果不过 $b k$ ，就是 $d p 1 [u p]$ ；否则，就是 $b k + max (d p 2 [c s [u p]], d p 2 [c s [c s [u p]]], \dots, d p 2 [d w]) = b k + m x [c s [u p]]$ ，注意这里不包括 $d p 2 [u p]$ ，否则从 $d w$ 上到 $u p$ 路径会和 $b k$ 组成一个环，不再是简单路径。这样就求出了 $u p$ 子树的答案，并且对于更多的简单环，这个方法都同样适用。