莫队与分块

【根号分治】

例题：等差数列加

给定一个长度 $n$ 的数列，初始全都是 0。（$n\le 2\times {10}^5$）

要求支持两种操作：

1. $1xyd$，表示把所有下标模 $x$ 等于 $y$ 的位置全部加上 $d$；

2. $2x$，表示查询 $a_x$ 当前值。

做法：

对于所有 $x>\sqrt{n}$，我们直接暴力循环修改；

否则，在 $tag$ 数组上打标记：$tag[a][b]$ 表示模 $a$ 得 $b$ 的位置总共加上了 $tag[a][b]$。

在我们查询的时候，先 $ans=a[x]$，然后循环 $i\leftarrow 1\sim \sqrt{n}$，令 $ans+=tag[i][x\mathrm{mod}i]$。然后输出 $ans$ 即可。

这个复杂度是 $O(n\sqrt{n})$。

cin >> n >> q;
int M = 500; //因为根号2e5差不多500
for (int i = 1; i <= q; i++) {
	int opt, x;
    cin >> opt >> x;
    if (opt == 1) {
    	int y, d;
        cin >> y >> d;
        if (x <= M)
        	tag[x][y] += d; //小于等于M,打标记
        else
        	for (int j = y; j <= n; j += x) //暴力修改
            	a[j] += d;
    }
    else {
    	long long ans = a[x];
        for (int j = 1; j <= M; j++)
        	ans += tag[j][x % j];
        cout << ans << endl;
    }
}

图染色：

给定一张 $n$ 点 $m$ 边的图，每个点初始白色。要求支持两个操作：

1. 1 x，表示翻转点 $x$ 的颜色；

2. 2 x，表示查询 $x$ 有多少个黑色的邻居。

一般图上的根号分治，按照点的度数分类。

做法：

所有点的度数之和为 $2m$。

设一个阈值 $T$。度数 $\ge T$ 的称为大点，$<T$ 的是小点。

对于翻转操作：

修改一个点时，我们同时更新其周围大点的答案。

因为大点个数 $O(\frac{m}{T})$，所以翻转操作 $O(\frac{m}{T})$。

（当然，一个点周围的大点有谁肯定要预处理）

对于查询操作：

如果该点为大点，我们在翻转操作的时候已经记录了答案。$O(1)$ 复杂度。

如果该点为小点，直接暴力计算邻居。$O(T)$ 复杂度。

两个复杂度取平均，$O(\sqrt{m})$ 的总时间复杂度。

【莫队】

莫队的思想可以概括为：

询问排序，区间移动，离线处理

【基础莫队】

以两道例题说明莫队的思想。

小Z的袜子

给出一个 $n$ 长度序列。每次询问给出 $l,r$，回答在 $[l,r]$ 中任选两个数，这两个数相等的概率是多少。

前置思路：

我们想要维护一个区间内，每一个数的出现次数。因为这样我们可以用 符合条件数 / 总可能数 得到概率。

这个用线段树不好做，因为两个区间合并难以 $O(1)$ 计算。

但是，我们发现，假设我们已经算出了 $[l,r]$ 的 $cnt$ 数组，那么 $[l+1,r]$ 的 $cnt$ 数组就相当简单了： cnt[a[l]]-- 即可。并且此时 “符合条件数” 的变化同样简单：ans -= cnt[a[l]]。

同样地，$[l,r+1]$ 的求解也很简单。

题解：

把序列进行分块，$\sqrt{n}$ 的长度做一块。

分别处理每一块，处理所有左端点在此块的询问。

对于每个询问，我们循环 $R:1\sim n$，并且在枚举 $R$ 的同时维护 $1\sim R$ 的 $cnt$ 数组。

如果每个时刻 $R$ 和一个询问 $[l,r]$（当然注意这个询问的 $l$ 一定在当前处理块中） 的 $r$ 相等了，我们把 $L$ 移动到对应的 $l$ 处，并且在移动的同时增加或减去 $a[L]$。

然后此时此刻，我们就可以回答这个 $[l,r]$ 的问题了。

回答完这个问题后，$R$ 继续向右，$L$ 不用动，直到下次 $R$ 又碰到一个询问。

这个操作中，处理一个询问需要 $O(\sqrt{n})$ 的左端点移动，$O(n)$ 的右端点移动。而一共有 $O(\sqrt{n})$ 个块，所以复杂度 $O(n\sqrt{n})$。

小B的询问

分块和莫队在此题中的区别：

分块：分出 $\sqrt{n}$ 个块，求出每个块里每个数的出现次数，询问时新建一个 $cnt$ 数组，把经过的所有块的次数都加起来。

虽然分块本身只需要 $O(m\sqrt{n})$ 的时间复杂度，但是 “新建一个 $cnt$ 数组” 需要 $O(n)$，总的还是 $O(nm)$。

莫队：同样分块，把每个询问先按左端点所在块的编号排序，然后再按右端点排序。

对于左端点在同一个块的询问，一次处理全部：枚举右端点 $R:1\sim n$，同时新建一个 $cnt$ 数组，在枚举右端点的同时计算 $1\sim R$ 的 $cnt$ 数组。

如果当前枚举到的右端点刚好是某个询问的右端点，就开始调整左端点到这个询问的左端点。

为什么莫队算法也要新建一个 $cnt$ 数组，但是却比分块更快呢？

因为分块是每一个询问都新建一次，而莫队是每一个块新建一次。

下面考虑一下莫队具体的时间复杂度。

外层有一个 $O(\sqrt{n})$ 的循环枚举块数。

内层有一个 $O(n)$ 的循环枚举右端点。

对于每一个询问，最多使用 $O(\sqrt{n})$ 的量级时间计算它。（一个块内最多移动 $O(\sqrt{n})$） 次。

一共 $m$ 个询问。

所以是 $O(n\sqrt{n}+m\sqrt{n})$，但是 $n,m$ 同级，所以 $O(n\sqrt{n})$。

【莫队的代码结构】

莫队的关键词：询问排序，区间移动，离线处理。

我们在代码中对应的：排序的cmp函数，处理区间的del和add函数，把询问存下来的数组。

小Z的袜子有点注释的代码

【莫队的几何意义】

《算法竞赛》（罗勇军、郭卫斌著）上册 P220。

如果把每一个询问 $[l,r]$ 看作一个点 $(l,r)$，那么时间复杂度就是从原点开始，找一个顺序走过所有点，相邻点的曼哈顿距离之和。

如果只是按 $x$ 排序，$y$ 轴上可能会有大幅度跳跃。

莫队把 $y$ 的大幅度跳跃转换成了 $x$ 上的限定在 $\sqrt{n}$ 幅度内的跳跃。

【带修莫队】

数颜色

对于每一个查询，额外记录一个时间戳 $t$，表示在这个询问之前，执行了 $t$ 个修改操作。

先按左端点所在块排序，再按右端点所在块排序，最后按 $t$ 排序——这样相当于每个询问看作立体空间内的一个点 $(l,r,t)$。

把每个修改操作提出来变成一个修改操作序列，每次处理询问的 $t$ 就像处理基础莫队的 $r$，来回加修改/回退修改即可。

【回滚莫队】

回滚莫队一般用来处理区间扩张很好维护，但是区间收缩不好维护的情况。

例如求最大值。扩张时只需要取 max 即可；但是收缩时，我们需要堆来辅助求出新最大值。

历史研究

这题就是典型的扩张好求，收缩不好求。

回滚莫队的运行方式

前面的操作方式和基础莫队一样：按照左端点所在块和右端点把所有询问离线排序。

对于所有询问分两类：

1. 左右端点在一个块内。直接暴力 $O(\sqrt{n})$。

2. 左右端点不在一个块内。（因为按照右端点排序，肯定先处理完了 1 类才处理 2 类）

   右端点和基础莫队一样，单调向右移动。

   每次处理一个询问，都把左端点的位置重新设为 “询问左端点所在块的下一个块的第一个位置”。

   然后开变量记录 ：

   $[$“询问左端点所在块的下一个块的第一个位置”，“询问右端点”$]$ 的所有收缩时不好维护的信息。

   接下来，把左端点一直向左扩张到询问的左端点，此时可以算出询问的答案。

   算完之后，把左端点再一个一个倒退回 “询问左端点所在块的下一个块的第一个位置”，在倒退过程中，顺便维护所有收缩时好维护的信息。等退到位置了，利用之前记录的变量重置所有收缩时不好维护的信息。

   因为右端点不变，左端点还是在一个块内来回移动，所以复杂度不变。

   （这比用堆来维护更快！）

【练习】

Friendly pairs

查询区间内有多少对数差不超过 $k$。

离散化（巧）：先把所有数、所有数 - k、所有数 + k 都离散化了，这样就能快速判断。

然后用一个 BIT 维护当前区间内每个数的个数，开一个变量记录个数。然后就是莫队。