P5914 MOS 题解

一道练习贪心证明的好题。

绝大多数题解只是点出了以下结论：

要么最快的带最慢的；要么最慢的带次慢的。

并没有给出证明。我就补上这个证明。

为了证明这个贪心结论，我们先证明几个引理。

引理一：每次将火把带回来的，一定是对岸最快的。

引理一证明：如果回来的不是对岸最快的，让对岸最快的人代替这个回来的人的一切行动，发现答案至少不差。

引理二：最慢的人要么和最快的人一起过桥，要么和次慢的人一起过桥。

引理二证明：

为了方便表述，记最快的人为 $a_1$，次快的人为 $a_2$，以此类推，次慢的人为 $a_{n-1}$，最慢的人为 $a_n$。

设 $a_n$ 是与 $a_p$ 一起过桥，$a_{n-1}$ 是与 $a_q$ 一起过桥。

我们有一个调整法的思路：让 $a_{n-1}$ 和 $a_n$ 一起过桥，让 $a_p$ 与 $a_q$ 一起过桥。

显然这样调整后这两次过桥的时间总和变少了。但是现在就得证是错误的。因为我们不确定改变过桥顺序是否会影响其他的过桥。

我们这样调整后唯一可能造成的影响是：如果我们希望 $a_p$ 把火把送回来，那 $a_{n-1}$ 和 $a_n$ 一起过桥就会产生阻碍。

在这种情形下，尝试证明 $a_p=a_1$ 最优。

假设 $a_p\ne a_1$，我们令 $a_p\leftarrow a_1$，容易发现，$a_n$ 和 $a_p$ 过桥时间不变，而 $a_p$ 带着火把回来时间至少不变，可能更优。

综上所述，最慢的人每次过桥，要么和最快的人一起，要么和次慢的人一起。

最后的结论：要么 $a_1$ 和 $a_n$ 过桥，$a_1$ 回来；要么 $a_1,a_2$ 先过桥，$a_1$ 回来，然后 $a_{n-1},a_n$ 过桥，$a_2$ 回来。

证明：考虑 $a_n$ 和谁过桥。如果 $a_n$ 和 $a_1$ 过桥，由引理一，过桥后一定是 $a_1$ 回来。

如果 $a_n$ 和 $a_{n-1}$ 过桥，假设是由 $a_k$ 送回火把。因为 $a_k$ 总是有一次过去、一次送回火把、一次回到对岸的过桥旅程，所以 $a_k$ 会贡献至少三次时间至少为 $a_k$ 的过桥。

如果我们先让 $a_1,a_2$ 过桥，$a_1$ 回来，让 $a_2$ 送回 $a_n,a_{n-1}$ 带过去的火把。这种方法贡献了 $a_1+2a_2$ 的时间，$a_1+2a_2\le 3a_k$，更优。

以上我们证明了这种方法的正确性。如果我还有考虑不周的地方，欢迎评论指出。

代码就不贴了。有了这个结论，每次看一下送走当前 $a_n,a_{n-1}$ 花费更少的是哪种，不停选就是了。

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