CF1929

A

最大值 - 最小值

B

题意：在 $n\times n$ 的方阵中选择若干个方块，使得至少有 $k$ 条对角线上有选择的方块。

观察：如果选择第一行的 $n$ 个，和最后一行的中间 $n-2$ 个，可以覆盖 $4n-4$ 条对角线，这其中每一个格子都恰好覆盖两条对角线。

所以如果 $k\le 4n-4$，输出 $\lceil {\displaystyle \frac{k}{2}}\rceil$。否则输出 $2n-2+(k-(4n-4))$。

C

题意：一个赌场。若赢了，则下注的钱变成 $k$ 倍；否则输光下注的钱。同时赌场不会让你连输 $x+1$ 局。本金 $a$ 元，是否有方法获得无限的钱？

题解：必须保证每次下注后若赢了，能把之前下注的钱赚回来。也就是 $a-s_{i-1}-p_i+k{p}_i>a$，$p_i$ 是第 $i$ 次下注的钱，$s$ 是 $p$ 的前缀和。

用这个式子推出 $p_1\sim p_{x+1}$ 后，看 $\sum p_i$ 是否超过 $a$。若超过，则无解。

这对了吗？

发现 $p_i$ 增长的非常快，必须在递推 $p,s$ 的中间及时判断并跳出，不然会爆 long long。

D

题意：给定树。选若干个标记点，使得不存在一条简单路径包含三个标记点。求方案数。

$dp[i][0]$ 表示 $i$ 的子树内不存在一条简单路径包含 $3$ 个标记点，也不存在一条包含两个标记点的 向上的链（端点有祖先关系的路径） 的方案数。

$dp[i][1]$ 表示 $i$ 的子树内不存在一条简单路径包含 $3$ 个标记，但是存在一条 …… 的方案数。

转移方程：

$x$ 不选：$dp[x][0]\leftarrow {\displaystyle \prod _{v\in son[x]}dp[v][0],dp[x][1]\leftarrow \sum _{v\in son[x]}dp[v][1]}$

$x$ 选：$dp[x][0]\leftarrow 1,dp[x][1]\leftarrow {\displaystyle \sum _{v\in son[u]}dp[v][0]-1}$。

E

题意：给定 $k$ 条简单路径，要求每条简单路径上至少一条边被标记，问标记边的方案数。$k\le 20$。

状压 DP，$dp[S]$：要求 $S$ 中标记的简单路径上至少一条边被标记，标记的方案数。

设每一条边 $e$覆盖的简单路径的集合为 $S_e$。则状压的转移方程是 $dp[S|S_e]=min(dp[S|S_e],dp[S]+1)$。

但复杂度不会炸吗？不会，因为不同的 $S_e$ 个数是 $O(k)$ 的。证明可以考虑对路径的端点建虚树。

F

题意：给定 BST，有一些点权值已知，且所有结点值域 $[1,C]$，求方案数。

其实很简单，BST 的中序遍历一定是单调上升的。