双指针

【双指针】

双指针（two-pointer method）

这里的指针不是指向内存地址的指针，而是一个类似于光标的、指向一个位置的指针。

双指针是一个优化时间复杂度的思想。

【例子1】

两数之和

二重循环当然可以，但是太慢了。

于是我们可以使用双指针优化。

样例：

7 7

1 3 4 8 6 9 5

我们先对这个数组排序。

1 3 4 5 6 8 9

定义两个指针 $i,j$，初始 $i=1,j=n$。

枚举 $i$，$i$ 表示 “两数中较小那个的下标，每次加一。

随之调整 $j$，$j$ 表示 “固定了 $i$ 之后，使得 $a[j]+a[i]\le k$ 最大的 $j$，一直减到 $a[j]+a[i]\le k$。

当 $i\ge j$，循环结束。

我们发现，在开始调整了 $j$ 之后，$j$ 一定是单调递减的。

这个过程是 $O(n)$ 的。

【特点】

1. 属性关于位置单调变化；

2. 对枚举问题，利用单调性以优化枚举；

3. 通常枚举一个指针，另一个指针单向维护。

【题目】

数列的三部分

先排序。

还是两个指针指向 $1,n+1$。

还要 $sum1=0,sum3=0$，然后在 $i,j$ 调整时随之调整。

宰牛刀杀鸡

把瓜数组和刀数组排序。

两个指针 $i,j$ 分别指向两个数组的开头。

每次刀数组的指针加一，另一个指针一直增加到最大的宰牛的瓜。

注意：移动指针时，要判断还有没有下一个。

木板

这题为什么是双指针呢？

两个指针 $i,j$，表示当前考虑的区间是 $[i,j]$。

一个区间不能变成纯白，等价于这个区间内的黑格子大于 $m$。

在这个过程中，$j$ 是单调递增的。

逛画展

单调性：段越长，种类越多。

做一个 $cnt$ 数组记录。

Equal Cut

双指针，不一定只是“双”指针。

定义三个指针，$i,j,k$，分出四个子段。

不妨 $j\le i\le k$。

我们发现，当我们枚举 $i$ 的时候，左右被分成了两段。

左边一段，$j$ 一定是不变或者右移。

右边一段，$k$ 也一定是不变或者右移。

而 $j,k$ 之间是不会影响的。

最后我们只需要把 $j,k$ 分出来的四段求极差即可（前缀和）。

Cow Rectangles G

（信息课考试最后一题）

H牛：好牛，G牛：坏牛

第一想法：

枚举上下左右边界，边界上一定有好牛。（不然可以面积更小）

优化：

按 x 排序，选择两只牛做左右边界（$O(n^2)$）。

把牛复制一遍，按 y 排序（给双指针用）。

每次找好左右边界之后，从上到下找牛（所有牛）。

定义 $i,j$，表示上下边界。

如果当前牛不在左右边界内，不管；

如果当前牛在边界内，并且是好牛，把 $j$ 拓展到这里；

如果当前牛在边界内，并且是坏牛，则不能扩张了，$i$ 从下一个枚举。

但是，如果我们可能会让上下边界没包括左右边界上的牛，对不对？

没问题，因为我们枚举所有牛的时候也包含了左右边界的牛。

但是，我们枚举的 $i,j$ 代表的牛可能根本用不到左右边界？

没问题，因为我们总有一次会枚举到以 $i,j$ 之间的牛做左右边界。

不存在，但是不会更新答案的方案，我们不在乎。

【总结】

只要有有序性，就可以考虑双指针。