网络流

【什么是网络流】

一张带权图，给定了一个源点（起点）和一个汇点（终点）。

每个点比作一个中转站，源点比作一个水源，汇点比作一个洞。

每条边比作一条管道，边权比作上限。

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现在要把水从源点输送到汇点，水经过若干中转站和管道到达汇点。

但是，每条管道单位时间内输送的水不能达到这条管道的上限（权）。

每个中转点所到达的水可以分流进各个管道里。

某种方案把水流到汇点的量，称作这种方案的流量。

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网络流处理有关于流量的问题。

【最大流问题】

我们想要让最多的水可以流到汇点。

那么，最多有多少水可以流到汇点呢？

网络最大流算法负责处理这个问题。

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【一个原始的想法】

我们的想法：能流的话，就流。

从这个图里随便找一条源点到汇点的路（增广路：一条权值都大于 $0$ 的从源点到汇点的路径）。

这条路上的边的最小权记为 $a$。

把 $a$ 单位的水沿着这条路流到汇点。

经过的所有边权，都减去 $a$，表示它最多能输送的水又少了 $a$。

如果一条边的边权为 $0$，就相当于没有了。（饱和了，不能通）

【这个想法的反例】

这个图的最大流很明显是上下分两条。但如果我们不幸搜到了中间岔开的一条，就会 WA。

而下面找到的一条路有可能会阻断上下两条。

所以，这个想法一旦选定了一条本不该选的边，就无可挽回了。

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【Ford_Fulkerson】

上面说到，这个想法挂掉的原因在于不能选不该选的边。

那么，我们可以考虑让我们可以 “反悔”。

而这，就是 Ford_Fulkerson 算法思想，以下简称 FF算法。

（因为只给了理论没给程序，只能是思想而不是算法）

【FF算法】

考虑每条边再建一条反向的边。

开始时，每条反向边的边权均为 0 。

反向边的意义是：可以反悔的额度。

比如，还是这个图。

把反向边建出来，并加上权。

假如我们走了这条横跨两大陆的边，有几条黑边输送了 1 的水，要减 1.

与此同时，这些边的反向边要加 1，即可以反悔的额度加 1 了.

于是图变成这样：

我们惊奇地发现，如果加了反向边，还能找到一条路：

如果走了这条路，我们横跨大陆的错误就纠正了。

如何翻译 “走了这条路” ？

当你走了一条反向边，相当于把来到这里的水又倒了一些出来。

这些水 “反悔” 了，换了一条路，再走一遍。

【具体实现】

我们知道了整个算法的流程，但其中还有一个问题。

我们一直在说：随便找一条路，如何找呢 ？

【直接做：EK】

就按照 FF算法 说的，我们就每次找一条增广路，然后流过去。

也就是每次从源点搜索一条到汇点的路径，然后流。

这种算法就叫做 EK（Edmonds-Karp），复杂度 $O(n^{2}m)$

【图分层：Dinic】

我们进行一个优化：先从源点 BFS，只经过剩余容量 $>0$ 的边，记录每个点的深度（距离）。

然后找增广路时，只走那些通向下一层的边。

【当前弧优化】

非常重要！

【有上下界的网络流】

【无源汇可行流】

建立超源点 $S^{\prime }$ 和超源点 $T^{\prime }$。暂时只看每条边的下界，看每个点如果每条边都卡着下界，入度和出度比是多了还是少了。少了，就连一条到 $T^{\prime }$ 的边，容量为少了多少；否则 $S^{\prime }$ 连一条到这个点，容量为多了多少。

从 $S^{\prime }$ 到 $T^{\prime }$ 跑最大流，判断所有 $S^{\prime }$ 连出去的边是否都满流，如果不满流就不可行。

【有源汇可行流】

在上面图的基础上，在原来的 $S,T$ 之间连一条 $T\to S$ 的容量为 $+\mathrm{\infty }$ 的边，然后跑 $S^{\prime }\to T^{\prime }$ 最大流，判断是否满流。

（这个时候我们找到了一个可行流，且这个可行流就是此时 $T\to S$ 这条边的流量）

（想知道 $T\to S$ 的流量，可以通过遍历 $T$ 的所有出边，找到 $T\to S$ 的边，然后通过 $rev$ 看反边）

【有源汇最大流】

上面的图跑完最大流得到残余网络，在这个残余网络上先删掉 $T\to S$ 的 $+\mathrm{\infty }$ 边后求 $S$ 到 $T$ 的最大流，这个流加上上面可行流的流量就是最大流。（不用管 $S^{\prime },T^{\prime }$，因为跑 $S,T$ 都不会用到）

注1：删边 $⟺$ 遍历出边，把 $T\to S$ 的 $+\mathrm{\infty }$ 边容量变成 $0$，同理找到 $S\to T$ 对应反边容量也变成 $0$。

注2：具体代码实现，删边可以直接调用 e[s],e[t] 的最后一个元素，因为 $+\mathrm{\infty }$ 边是最后加上去的。

※ 注3：也可以不删边直接在残余网络上求 $S\to T$ 的最大流。因为 $T\to S$ 的 $+\mathrm{\infty }$ 边的反边容量就刚好是第一轮最大流的流量。所以直接求 $S\to T$ 最大流刚好会包含这条边。

【有源汇最小流】

也是残余网络删掉 $T\to S$ 的边，但是跑 $T\to S$ 的最大流，然后可行流减去这个最大流。

【费用流】

一般先保证最大流，再保证最小费用。

每条边每流一单位的流量，就要付一份这条边对应的钱。

先抛弃 Dinic，回归 FF 算法。

但是这次我们每次找增广路，用最短路算法找到一条费用最小的增广路，然后增广。

注意带费用的边的反边，费用就应该是负数了，因为反边代表的是反悔，反悔就要把费用吐出来。

复杂度：$O(nmf)$，其中 $f$ 等于图的最大流。

【正确性】

首先根据 FF 算法，只要是找增广路，就一定是对的。

但是是否每次找单个最小，就能得到总体最小？

是。（因为 FF 算法的反边是保证了一切反悔的可能性）

【有源汇上下界最小费用最大流】

注意建图反边费用是负数！

注：所有额外边的费用都是 $0$。

类比有源汇最大流，我们建了图后先跑一遍 $S^{\prime }\to T^{\prime }$ 最小费用最大流，设这一次得到流量 $f_1$，费用 $c_1$。

然后（不删边）再跑 $S\to T$ 的最小费用最大流，设这一次得到流量 $f_2$，费用 $c_2$。

则总共最大流量是 $f_2$，最小费用是 $c_1+c_2$。注意这里的费用不能直接取 $c_2$，因为这里的费用不能直接用 $+\mathrm{\infty }$ 的边做巧合。

【题目】

Telecowmunication 奶牛的电信

这题是割点，不是割边。那怎么做？

把每个点拆成入点和出点。入点向出点连一条容量为删除这个点代价的边。

然后可以通信的点之间，入点向出点连 $+\mathrm{\infty }$ 的边。

于是就可以最小割了。

蜥蜴

最少留下 = 总 - 最多离开。

也把每一个格子分成入点和出点，对于每个格子只能经过多少只蜥蜴，其入点就向出点连多少容量的边。

互相能跳跃的格子，连容量 $+\mathrm{\infty }$ 的边。此时最大流就是最多离开。

除此之外，怎么分配初始蜥蜴？我们可以建立超源点 $S$，$S$ 向所有有蜥蜴的格子连边。

同时建立超汇点 $T$，所有能跳出边界的出点都向 $T$ 连边。

这题里面，我们认为格子的限制只在格子内部处理，格子之间是可以无限跳跃的。同时：我们认为蜥蜴不是一开始就在格子上，而是从一个位置 $S$ 跳到初始格子上。

士兵占领

这题王老师的 std 写错了，把行和列的结点建到一起去了。

解法：

把士兵的分配看作都从源点出发，流到每个行，然后从每个行流到每个列上面去。

对行的限制体现在 $s\to row$ 上，对列的限制体现在 $col\to t$ 上，对格子障碍物的限制体现在 $row\to col$ 上。用上下界网络流做。

具体而言：设第 $i$ 行有 $x$ 个格子可以放，则 $s$ 向行 $i$ 代表结点连一条容量 $[l[i],x]$ 的边。设第 $j$ 列有 $x$ 个格子可以放，则列 $i$ 代表结点向 $t$ 连一条容量 $[c[i],x]$ 的边。

然后如果 $(i,j)$ 可以放士兵，则行 $i$ 代表结点向列 $j$ 代表结点连一条 $[0,1]$ 的边。

然后求有源汇上下界最小流。

圆桌问题

构造一个图：左边 $n$ 个点，右边 $m$ 个点，代表单位和桌子。

$s$ 向左边每个点连边，容量 $r_i$；右边每个点向 $t$ 连边，容量 $c_i$；左边每个点向右边每个点连边，容量 $1$。

跑最大流，看看是否等于总人数。

如何找方案：循环左边每个点，再循环到右边的边，看看容量是否为 $0$。

星际转移问题

之前 ZR 模拟做过类似的。

把地月看作 $n+1,n+2$，洪水填充判断是否有解。

拆点，每个点拆成 $t$ 个点表示在不同的时间到这个点的状态。

初始源点向地球连 $+\mathrm{\infty }$ 的边，表示允许任意多人到地球。求最短时间就是看第一个时间点，到达月球的人数达到 $k$。

枚举 $i=1\sim +\mathrm{\infty }$，然后枚举每艘太空船，找到它第 $i$ 时刻所在位置，然后从 $i$ 时刻位置向 $i+1$ 时刻所在位置连容量 $h_x$ 的边。$i$ 时刻的月球向汇点连 $+\mathrm{\infty }$ 边。

加了新边之后跑最大流，把最大流加入目前的人数中，判断是否达到 $k$ 人。如果是，就输出答案；不是，进入下一轮。

植物大战僵尸

神奇的建模。

先拓扑排序找出所有环和环的后继。这些一定是不会被吃的。

如果保护者指向被保护者，答案就是在剩下的点之间求最大权闭合子图。

（闭合子图：选一些点，使得如果 $u$ 被选，则 $u$ 的所有前驱都要选）

建模：建立超源超汇，原来保护关系的边都方向取反后变成 $+\mathrm{\infty }$ 的边。

然后，若点 $u$ 权值为正，$S\to u$，容量 $a_u$；否则 $u\to T$，容量 $-a_u$。

去掉拓扑排序后，所有收益为正的植物的收益之和 减去 最小割即答案。

拍照

也是最大权闭合子图。

对 $m$ 个拍照事件做出 $m$ 个点，$n$ 个人做出 $n$ 个点。

类比上面，每个人都保护了一些拍照事件。

海拔

观察：最终每个点的高度要么是 $0$，要么是 $1$。且最后的花费就是所有 $0\to 1$ 的边的人流量。

观察：最后的图中，$0,1$ 各形成一个连通块。

所以我们的问题：分成两个连通块，使得联通它们的边边权和最小。

直接最小割，但是发现还要优化。

对偶图！

对偶图是一种平面图最小割的优化方法。可以把最小割转化为最短路。可以上网搜。

CF704D

思路和蜥蜴一样，每个点的颜色视作先从超级源点流到每个 $x$ 坐标上，再从 $x$ 坐标流到 $y$ 坐标上。然后就变成上下界网络流。

点要离散化，但是不能用 map，因为点可能重复.

餐巾计划问题

补充题意：初始没有餐巾；最后一天过了，餐巾是不是全部干净都行。

把每一天看成节点，餐巾的使用视作在节点之间流动。

具体而言，建立 $2N$ 个点。每一天对应两个点，分别表示在这一天内干净的餐巾和脏的餐巾。

（以下没说费用都是 $0$）

如何连边？首先，干净点 $A$ 向干净点 $A^{\prime }$ 连 $+\mathrm{\infty }$ 的边，表示这天可以选择任意数量餐巾不用；脏点 $A$ 向脏点 $A^{\prime }$ 连 $+\mathrm{\infty }$ 的边，表示这天可以选择任意数量餐巾不洗。

$s$ 向 $1$ 连边，容量 $+\mathrm{\infty }$，费用 $p$，表示买餐巾。

$i$ 向 $i^{\prime }$ 连边，容量 $[r[i],r[i]]$，表示第 $i$ 天会产生 $r[i]$ 个脏餐巾。

$i^{\prime }$ 向 $i+m$ 连边，容量 $+\mathrm{\infty }$，费用 $f$，表示快洗；

$i^{\prime }$ 向 $i+n$ 连边，容量 $+\mathrm{\infty }$，费用 $s$，表示慢洗。

$n$ 和 $n^{\prime }$ 向 $t$ 连边，容量 $+\mathrm{\infty }$。

跑上下界最小费用流即可。

深海机器人问题

难点在于怎么处理每个生物标本只能被采摘一次。

首先生物标本是在点上的，对点的限制不好直接在图上体现。我们用一个经典 trick: 入点出点。

然后对于一个生物标本，我们从入点到出点连一条容量 $1$ 的边，费用是生物标本的价值。

另外每个入点到出点，都连一条容量无穷，费用 $0$ 的边。

跑最大费用最大流。

志愿者招募

我们把问题看作我们一开始有无限个志愿者。题目的“雇佣”就是让一些志愿者开始工作。设置 $n+1$ 天，每一天抽象为一个结点，志愿者视作随着时间（天数）流动。

假如第 $i$ 天需要 $p_i$ 人，则从 $i$ 天向第 $i+1$ 天连一条容量为 $inf-p_i$ 费用 $0$ 的边，表示第 $i$ 天最多有 $inf-p_i$ 人休息。

一类志愿者可以从 $s_i$ 做到 $t_i$ 天，则从 $s_i$ 向 $t_i+1$ 天连容量 $+\mathrm{\infty }$ 的边，费用 $c_i$。

然后超源点 $s$ 向第一天连容量 $+\mathrm{\infty }$ 费用 $0$ 的边，第 $n+1$ 天向超汇点 $t$ 也连同样的边。

这么跑最小费用最大流：

首先人数有 $inf$ 个，最终也必须剩下 $inf$ 个人（总流量必须是 $inf$）。为了最小费用，就会使用尽可能小的费用把 $inf$ 个志愿者送到第 $n+1$ 天，符合要求。

最大密度子图

参考