图计数

【无向图三元环计数】

定义一个有向图 $G^{\prime }$：把 $G$ 中每条边改成从度数小的点指向度数大的点 的有向边。

性质：$G^{\prime }$ 中每个点的出度 $\le 2\sqrt{m}$。

证明：若 $u$ 的出度 $>2\sqrt{m}$，则显然 $u$ 在原图中的度数 $>2\sqrt{m}$。所以 $u$ 指向的至少 $2\sqrt{m}+1$ 个点的度数，也都 $>2\sqrt{m}$。（因为是度数小指向度数大的）

这 $2\sqrt{m}$ 个点，每个点的度数都大于 $2\sqrt{m}$，则总边数显然 $>m$。

这个性质有什么用呢？

推论：（在 $G^{\prime }$ 中）枚举点 $x$ ，再枚举 $x$ 的后继 $y$，再枚举 $y$ 的后继 $z$ 的复杂度是 $O(m\sqrt{m})$ 的。

证明：可能有一种不准确的估计：$x$ 点是 $O(n)$ 枚举的，枚举 $x$ 的后继 $O(\sqrt{m})$，再枚举一个又乘 $O(\sqrt{m})$，总复杂度是 $O(nm)$ 的。但实际上，枚举 $x$ 和 $x$ 的后继，相当于枚举了所有边的起点，总复杂度不是 $O(n\sqrt{m})$ 而是 $O(m)$ 的。所以总复杂度是 $O(m\sqrt{m})$。

由此可以设计出我们的算法：

枚举点 $a$，枚举 $a$ 的后继 $b$，将所有 $b$ 打上标记；然后枚举所有 $b$ 的后继 $c$，若 $c$ 有标记，$ans+1$

提示：这个算法不只是求出了数量，它直接找到了所有三元组。所以如果每条边有边权，求所有三元环边权之和也是可以的。

【有向图三元环计数】

其实我们可以暴力一点。

记 $G_0$ 为一个无向图，是 $G$ 中所有边去掉了方向。

然后对 $G_0$ 找出所有三元环，然后在 $G$ 里面是否也构成三元环。

应用：Counting Stars

题意：定义一个 star 子图为：四个点五条边 的子图。求 $G$ 中有多少个 star 子图。$n\le 3e5,m\le 6e5$

对于每条边 $e$，统计 $f_e$：$e$ 属于多少个三元环。则每条边的答案贡献就是 $C_{f_e}^2$。

怎么算 $f_e$？枚举所有三元环，然后给三条边的 $f_e$ 各 $+1$ 即可。

【无向图四元环计数】

无向图定向后有三种可能情况。分别计数。

①：$A\to B,C\to D$，先枚举 $A$，$A$ 对于每个 $D$，求出 $f_D$：$A\to i\to D$ 的数量。$A$ 的数量就是 $\sum _D{f}_D(f_D-1)$。

②：$B\to C\to D$，还有 $A\to B,D$。先枚举 $B$，对于每个 $D$，求出两个值 $f_D$：$B\to i\to D$ 的个数，$g_D$：$B\leftarrow A\to D$ 的个数。则 $B$ 的答案就是 $\sum _D{f}_D\cdot g_D$。

$f_D$ 很好求，在 ① 里做过了；而对于 $g_D$，我们先枚举 $B$，再枚举 $B$ 的前驱，再枚举 $B$ 前驱的后继，一共 $O(m\sqrt{m})$。

注意：这里不能先枚举 $A$，因为 $A\to B\to C\to D$ 有三层，复杂度会爆。

③：$A,C\to B,D$。先枚举 $B$，$B$ 对于每个 $D$ 求出 $f_D$：$D\leftarrow i\to B$ 的 $i$ 个数。则 $B$ 的答案就是 $C_{f_D}^2$。

求 $f_D$ 也很简单，和 ② 中 $g_D$ 的求法一样。$O(m\sqrt{m})$。

注意这里不能枚举 $A$ 然后求 $f_C$，因为枚举 $A$ 后继的前驱 复杂度就不对了。

三种情况都可以 $O(m\sqrt{m})$ 求出来，总复杂度还是 $O(m\sqrt{m})$。

注意：统计总数可以 $O(m\sqrt{m})$，但是枚举所有四元环出来不是 $O(m\sqrt{m})$ 的。

应用：CF1468M

题意：给定若干个集合，两个集合若有至少两个相同元素，则相似。找出一对相似集合，或说明无解。

把每个集合抽象为一个点，每个元素也抽象为一个点。一个集合向其包含的所有元素连一条无向边。于是出现一个二分图。

答案就是在这个二分图里面四元环计数。

【其他图计数】

欧拉图计数

题意：求欧拉子图个数。

欧拉图：每个点度数为偶数。

不妨假设图是连通图。否则每个连通分量求一下然后相乘即可。

结论：$2^{m-(n-1)}$。