ABC 312

前三题氵

D

给定一个由 (,?,) 组成的字符串。每个 ? 可以设定为任意括号。求有几种设定方法使得整个是合法括号序列。

套路，dp

E

给定 $n$ 个两两不相交的长方体，对每个长方体，求有多少个长方体与其有公共面。

有一个可以大幅度优化代码麻烦程度的小技巧：因为坐标范围很小，我们直接把每个长方体拆成 $x\ast y\ast z$ 个小立方体看就行。

对于第 $i$ 个长方体的每个小立方体 $(a,b,c)$，让它相邻的六个小立方体都统计一下：我的相邻小立方体有来自第 $i$ 个长方体的。这其实就等价于有公共面。

F

有 $n$ 个东西类型为 $0,1,2$。

类型 $0$ 的是罐头，无限制，有一个价值。

类型 $1$ 的也是罐头，需要开罐器，也有一个价值。

类型 $2$ 的是开罐器，有一个可开罐数量。

只能选 $m$ 个东西，求最大价值和。

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这题比 E 氵

考虑枚举拿的开罐器数量，同时维护此时的最大价值和。

用一个 multiset 保存当前持有的罐头。初始时把最大的 $m$ 个类型 $0$ 加入 multiset 并令初始价值和为它们的价值和。（赛时居然把所有类型 $0$ 的都加入 multiset 了，一定注意是最大的m个）

然后枚举拿的开罐器数量，注意开罐器一定是按照可开罐数量从大到小拿。（如果某次发现上一次的总可开罐数量已经足够开启所有罐头，就 break）

假设这次拿的开罐器可以打开 $x$ 个罐头，接下来从上一次开罐的结尾开始，再把之后的 $x$ 个罐头加入 multiset，同时也令当前价值和加上这 $x$ 个罐头。

最后把 multiset 中多余的罐头去掉。（注意要考虑拿了一些开罐器）这时剩下的就是拿这么多开罐器的答案了。

每次让 $ans$ 和维护的最大价值和取 $max$ 即可。

G

找出树上有多少个三个点的点组，使得不存在一条简单路径包含这点组内的三个点。

每一个符合要求的三点组 $(i,j,k)$，一定唯一存在一个结点 $v$，使得 $(i\to v,j\to v),(j\to v,k\to v),(i\to v,k\to v)$ 这三对路径中，每一对路径都存在一个非 $v$ 的结点重复。（说人话就是从点 $v$ 往外辐射出去）

因此只需要考虑每一个点 $v$，统计对应的 $(i,j,k)$ 个数，加起来就是答案。

而假设固定了点 $v$，$(i,j,k)$ 的个数就是从 $v$ 的每个儿子子树的规模中，任取三个相乘的和。（例如 $v$ 有 $4$ 个儿子，$4$ 颗子树的规模分别为 $2,1,1,3$，答案就是 $(2\ast 1\ast 1+2\ast 1\ast 3+1\ast 1\ast 3$）

如果 $v$ 的子结点不足 $3$ 个，对答案的贡献为 $0$。

“任取三个相乘的和” 这个问题可以用 DP 解：$d{p}_{i,j}$ 表示前 $i$ 个元素任取 $j$ 个数相乘，求和是多少。时间复杂度 $O($序列长度$)$。

因此对于一个固定的结点 $v$，它对答案的贡献可以以 $O(sons[v])$ 的复杂度求出，$sons[v]$ 是以 $v$ 为根时 $v$ 的子结点个数。

但是还有一个问题：以 $v$ 为根时，各子结点的子树规模怎么求？其实做一遍换根 DP 就行。

总复杂度 $O(n)$。

其实这题用到的知识点并不超纲。赛时卡在了如何求出“任取三个相乘的和”上。