ABC 311

前四题过水

E

枚举正方形的上边界所在行。对于第 $i$ 行一个没洞的位置 $(i,j)$，我们尝试求出以它为右上角的无洞正方形个数。

结论：设以 $(i,j-1)$ 为右上角的无洞正方形边长最大为 $len$，那以 $(i,j)$ 为右上角的无洞正方形边长最大为 $len+1$。

以 $(i,j)$ 为右上角的边长为 $len+2$ 的无洞正方形包含了以 $(i,j-1)$ 为右上角的边长为 $len+1$ 的无洞正方形，矛盾。

而以 $(i,j)$ 为右上角边长能为 $len+1$ 的充要条件是：

1. $(i,j)$ 往下 $len+1$ 个格子都无洞；

2. $(i,j+len)$ 往左 $len+1$ 个格子都无洞。

预先记录 $lft[i][j],dwn[i][j]$ 表示从 $(i,j)$ 往左/下第一次碰到洞是什么地方。$O(n^2)$ 预处理。

另外，如果 $(i,j)$ 不能达到 $len+1$，那边长最大为 $dwn[i][j]-i+1.$

然后可以扫一遍行，每行找所有无洞的位置，每个位置 $ans+=$ 这个位置右上角的最大边长。

$O(n^2)$。

（官方发的题解貌似是 dp，$dp[i][j]$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的无洞正方形个数）

F

有一个矩阵，一些格子已经被染成黑色。你可以把剩下的格子任意选一些染成黑色。有多少种染色方案使得每个黑格 $(i,j)$，$(i+1,j)$ 和 $(i+1,j+1)$ 都是黑格？

$dp[i][j]$ 表示前 $i$ 列，第 $i$ 列最高黑格位置是第 $j$ 行的方案数。

容易发现 $dp[i-1][j+2\sim n]$ 不能转移到 $dp[i][j]$，其他 $dp[i-1][]$ 都可以。

同时注意 $dp[i][j]$ 的 $j\ge$ 第 $i$ 列的最高黑格高度。

然后就是正常转移，加上前缀和优化。

G

找出矩形使得（矩阵和 $\times$ 矩阵最小值）最大。

直接暴力枚举最小值，然后使用悬线法。