树状数组

【树状数组是什么】

树状数组（Binary Indexed Tree, BIT）

支持单个元素修改 和 前缀查询。

比较一下：

	子段和	修改单个元素
数组	$O(n)$	$O(1)$
前缀和	$O(1)$	$O(n)$
树状数组	$O(\log n)$	$O(\log n)$

【树状数组的实现】

比如 $a$ 数组有 16 个元素。

现在我们定义树状数组 $t$ 。

$t[i]$ 表示 $\sum _{j=i-lowbit(i)+1}^i$。

其中 $lowbit(x)=k$ 表示 $2^k\mid x$ 但是 $2^{k+1}\nmid x$ ，即二进制下最低的是 1 的位 所代表的数。

形象一点：

先把所有是 16 的倍数的下标取出，它们的值是以下标结尾的 16 个元素的和。

在把 8 的倍数取出，同样，但是 16 的倍数就不管了。

循环往复，直到取完 1 的倍数。

如上图，就是 16 个元素的例子。

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经过这样的处理，查询前缀和的复杂度是 $\log$ 级别 。

$s[x]=s[x-lowbit(x)]+t[x]$，而 $s[x-lowbit(x)]$ 又是一个同类型但更简单的子问题，递归求和即可。

相当于把 $x$ 二进制拆位，因为 $x-lowbit(x)$ 就直接消去了最后一个 1，下一次的 $lowbit()$ 就至少乘 2，所以查询前缀和的复杂度是 $\log n$。

单个元素修改的复杂度也是 $\log$ 级别

假设我们要修改 $a[num]$ 。

首先所有下标小于 $num$ 的 $t_i$ 一定不用修改。

然后 $t_{num}$ 一定要修改。

再之后，如果 $t_x$ 要修改，那么 $t_{x+lowbit(x)}$ 也要修改。

证明：

$t_{x+lowbit(x)}$ 的管辖范围至少是 $t_x$ 的 2 倍。

而 $t_x$ 的管辖范围就是 $lowbit(x)$。

所以 $t_{x+lowbit(x)}$ 可以管辖 $a[x],a[x+1],...,a[x+lowbit(x)]$，还可以管辖 $t_x$ 的所有。

而 $t_x$ 可以管到 $a[num]$，所以 $t_{x+lowbit(x)}$ 也要修改。

接着还有：除了上述元素，其他的元素都不用修改。

证明：

假设 $t_x$ 要修改，按照方法下一个修改的应该是 $t_{x+lowbit(x)}$。

我们只需要证明 $t_{x+1},t_{x+2},...,t_{x+lowbit(x)-1}$ 都不修改即可。

而因为 $x+lowbit(x)$ 恰使管辖范围增加，所以 $x+1,x+2,...,x+lowbit(x)-1$ 都不能使管辖范围增加。

范围不增加，终点还远了，当然管不到 $a_{num}$。

综上，我们只需要按照每次增加 $lowbit(x)$ 的方式修改即可。

最后小问题：$lowbit(x)$ 怎么算？

$lowbit(x)=x$ & $(-x)$，按照补码算一下就证出来了。

【优缺点】

优点：

代码短、常数小。

缺点：

单点修改，可加不可减（比如求一个子段的最值，不能大减小），无法求任意子段，只能求前缀和。

【拓展】

1. 树状数组优化 dp

一部分 dp 在转移的时候都是 $dp[i]=max\{dp[j]|j\in [1,i)\}+k$ 的形式。

以前我们要用一重循环枚举 j，但是现在我们可以用树状数组快速求 $dp[1]$ ~ $dp[i-1]$ 的最值，这刚好是一个前缀。

例子：最长上升子序列

先离散化。

$dp[i]$ 表示以 $i$ 号元素结尾的最长上升子序列长度。

当进行第 $i$ 次循环，求出了 $dp[i]$ 后，$tr[a[i]]$ 和 $dp[i]$ 取 max，再赋值到 $tr[a[i]]$。

这样我们要求 $dp[i]$ 时，我们只需要求 $tr[1]$ ~ $tr[a[i]-1]$ 的 $max$ 再加一即可。

2. Generic Cow Protests G

基本想法：$dp[i]$ 表示前 $i$ 个分成的方案数。

$dp[i]$ = $\sum dp[j]$，$j\in [1,i)$，且 $s[i]-s[j]\ge 0$，$s[i]$ 表示 $a[1]+a[2]+...+a[i]$。

注意：$s[i]\ge s[j]$，考虑树状数组。

$s[i]$ 为位置，$dp[i]$ 为值。