ST表

【倍增算法】

先来介绍一些倍增。

倍增是用来加速枚举过程的算法。

一般可以把算法变成 \(\log\) 级别 \(O(n)=>O(\log n)\)。

举个栗子。

这里有一个小人，他想去右边的目标，但是他并不知道这个目标有多远。

不过他知道目前自己是在终点的左边还是右边。

我们说，他可以一步一步走，每走一步就看一下到了没，这当然可以走到终点。

但是这太慢了，所以我们要用第二种方法【倍增】。

我们让小人的步幅每次乘 2，于是小人就会这么走：

显然小人走超了。

但是，因为他是走了 8，所以他现在距离目标一定小于 8。

于是我们让他走 4。

这一走又走过头了，但是同理，他现在距离目标小于 4 。

于是我们让他走 2 。

他又超了，但是距离目标小于 2 。

所以走 1。

刚好到，整个过程是 \(O(\log n)\) 的。

但是，我们需要多次判断是到了还是超了，还要倒回来，太麻烦。

于是，我们在代码实现时，会写一个 “倍减”。

换个栗子：

现在知道路程小于 32，我们就一定不会走一步 32 的。

考虑先走 16 。

我们判断一下，走了 16 之后还没到，所以可以走。

接着考虑走 8，但是我们一看，走 8 就超了，所以不走 8 。

接着考虑走 4，但是走 4 也超了，所以不走 4 。

考虑走 2，发现不会超，于是走。

再走 1 。

刚好到。

整个过程相当于把路程给二进制拆位了。

但是，我们可以知道，我们第一步设置的步幅一定要足够大，不然怎么走都走不到终点。

【倍增简单应用】

求 \(\sqrt{n}\) 。

我们考虑定义 \(ans\) 和 \(step\) 。

初始 \(ans=0\)，\(step=n\) 。

不停循环，直到 \(step\) 达到所需精度。

每次循环判断 \(ans+step\) 是否超过 \(\sqrt n\)，如果不超过就加上。

#include <cstdio>
using namespace std;


int main()
{
	int n = 10;
	scanf("%d", &n);
	//对步长step，每次折半 
	double ans = 0, step = n;
	while ((step /= 2) > 1e-10) //只要步长还不够小，就继续跳 
		if ((ans + step) * (ans + step) <= n) //如果跳了不到，则跳 
			ans += step;
	printf("%.10lf\n", ans); 
    return 0;
}

快速幂。

【倍增写法】

我们要求 \(a^b \;mod \;p\)

考虑 \(a^1, a^2,a^4,a^8,...\)

把 \(b\) 二进制拆位，把每一位 1 所对应的 \(a\) 的幂乘进 \(ans\) 里。

【减治写法】

如果 \(b\equiv 1 \pmod{2}\)，\(a^b=(a^{b/2})^2 \times a\)。

否则 \(a^b = (a^{b/2})^2\) 。

递归即可。

#include <iostream>
using namespace std;

//倍增写法 
//long long fpow(long long a, long long b, long long p) { //a^b % p 
//	long long ans = 1, step = 1;
//	while (b > 0) {
//		if (b % (step * 2) != 0)
//			ans = (ans * a) % p, b -= step;
//		a = (a * a) % p, step *= 2;
//	}
//	return ans;
//} 

//减治写法 
long long fpow(long long a, long long b, long long p) { //a^b % p 
	if (b == 0)
		return 1;
	long long t = fpow(a, b / 2, p);
	return (b % 2 == 0) ? (t * t) % p : (t * t % p) * a % p;
} 
int main()
{
	long long a, b, p;
	cin >> a >> b >> p;
	cout << a << "^" << b << " mod " << p << "=" << fpow(a, b, p) << endl;
    return 0;
}

【RMQ问题和ST表】

RMQ：查询区间最值，ST 表专门处理这种问题。

【使用场景】

所需性质 “可结合性”。

“可加性” 就是两个区间的属性相加，就能求合起来的区间的属性。

“可结合性” 就是两个区间的属性可以做一个运算求合起来的区间的属性，而且不在乎两个区间是否重复。（比如 max，min，gcd）

优点：常数小，速度快，代码短。

缺点：只支持查询，不支持修改。

【实现】

记 \(f[i][j]\) 为 \(i\) ~ \(i+2^{j}-1\) 号元素中的最大值

初值：\(f[i][0]=a[i]\)

转移：\(f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1])\)（前一半和后一半）

查询：对于区间 \([l,r]\)，其最值可以 \(O(1)\) 地由 \(f\) 数组推出

记 \(len\) 为 \(r-l+1\)，\(\log_2^{len}=s\)，则 \(2^{s+1}>len\)

区间 \([l,r]\) 最大值 \(=max(f[l][s],f[r-2^s+1][s])\)

因为 \(2\times 2^{s}=2^{s+1}>r-l+1\)，所以两段必可完全覆盖

因为 max 有 “可结合性”，所以可以直接取 max。

预处理 \(log\) 和 \(power\) 的数组：

\(pw_i=pw_{i-1}\times 2\)，\(pw_0=1\)

\(lg_i=lg_{[i/2]}+1\)，\(i\) 为大于 1 的正整数。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
//st[i][j]为2^i长度，j开始的区间（[j, j + 2^i - 1]）最值
int n, m, l, r, a[100005], pw[25] = {1};//pw[i]为2^i 
int st[20][100005];
//lg[i] 为 log_2 i下取整，即i长度区间需要两个lg[i]层的区间拼成 
int lg[100005] = {0}; 
void init() { //初始化st表与指数、对数表(pw, lg) 
	for (int j = 1; j <= n; j++) //第0层 
		st[0][j] = a[j];
	for (int i = 1; i <= 20; i++)
		pw[i] = pw[i - 1] * 2;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		lg[i] = lg[i / 2] + 1;
	for (int i = 1; pw[i] <= n; i++)//第i层，对应长度pw[i]，它应该小于n 
		for (int j = 1; j + pw[i] - 1 <= n; j++) //从j开始 
			st[i][j] = max(st[i - 1][j], st[i - 1][j + pw[i - 1]]);
} 

int qry(int l, int r) {//查询[l, r]最值 
	int i = lg[r - l + 1];//所需两个区间的层数  
	return max(st[i][l], st[i][r - pw[i] + 1]); 
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);
	init();
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		scanf("%d%d", &l, &r);
		printf("%d\n", qry(l, r));
	}
    return 0;
}

【ST 表的一些扩展】

极差ST表，其实就是两个ST表，最大和最小；
二维ST表，大同小异，\(st_{i,x,y}\) 表示以 \((x,y)\) 为左上角，边长为 \(2^i\) 的方阵的最值；
改变更新顺序的ST表，\(st_{i,j}\) 表示以 \(j\) 结尾长度为 \(2^i\) 的最值，这样每加入一个数都可以就地更新。

忠诚：一个字符都不用改的模板。

Frequent values：

把st表的每一个元素变成一个结构体，记录左端连续长度、右端连续长度、答案，更新照常更新，询问分为两块，然后看一下有没有重复部分。

索引和值、加加减减的比较容易混淆。

Strip：

动态规划，\(dp_i\) 表示前 \(i\) 个至少需要分成多少块。

初值：全部 inf，除了 \(dp_0=0\)

递推：

\(dp_i=dp_p+1\)，\(p\) 是从小到大第一个满足条件的位置。

而且发现 \(p\) 一定单调不降，所以只需要一个变量即可。

判断是否满足条件用st表加速。

答案：\(dp_n\)

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int n, s, l;
int a[100005];

int st1[25][100005];
int st2[25][100005];
int pw[25] = {1};
int lg[100005];

void init() {
	for (int i = 1; i <= 20; i++)
		pw[i] = pw[i - 1] * 2;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		lg[i] = lg[i / 2] + 1;
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		st1[0][i] = st2[0][i] = a[i];
	for (int i = 1; pw[i] <= n; i++)
		for (int j = 1; j + pw[i] - 1 <= n; j++) {
			st1[i][j] = max(st1[i - 1][j], st1[i - 1][j + pw[i - 1]]);
			st2[i][j] = min(st2[i - 1][j], st2[i - 1][j + pw[i - 1]]);
		}
}

int qrymx(int l, int r) {
	int s = lg[r - l + 1];
	return max(st1[s][l], st1[s][r - pw[s] + 1]);
}

int qrymn(int l, int r) {
	int s = lg[r - l + 1];
	return min(st2[s][l], st2[s][r - pw[s] + 1]);
}

int qry(int l, int r) {
	return qrymx(l, r) - qrymn(l, r);
}

int dp[100005];
//前i个至少分成dp[i]份 

int main() {
	cin >> n >> s >> l;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> a[i];
	if (n < l) {
		cout << -1 << endl;
		return 0;
	}
	init();
	memset(dp, inf, sizeof dp);
	int p = 0;
	dp[0] = 0;
	for (int i = l; i <= n; i++) {
		while (i - p >= l && (qry(p + 1, i) > s || dp[p] == inf))
			p++;
		if (i - p >= l)
			dp[i] = min(dp[i], dp[p] + 1);
	}
	
//	for (int i = l; i <= n; i++)
//		cout << dp[i] << ' ';
	if (dp[n] == inf)
		cout << -1 << endl;
	else
		cout << dp[n] << endl;
	return 0;
}

Friends and Subsequences：

因为 \(max\) 单调递增，\(min\) 单调递减，所以在固定 \(l\) 的时候，满足条件的 \(r\) 一定是连续的，考虑二分。

二分出 \(ll,rr\)，分别代表最小的满足条件的右端点，和最大的满足条件的右端点，做差求和。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 2e5 + 5;

int n, a[N] = {0}, b[N] = {0};
int st_mx[30][N]=  {0}, st_mn[30][N] = {{0}};
int pw[30] = {1}, logN[N];

void init() {
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		logN[i] = logN[i / 2] + 1;
	for (int i = 1; i <= 20; i++)
		pw[i] = pw[i - 1] * 2;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		st_mn[0][i] = b[i], st_mx[0][i] = a[i];
	for (int i = 1; pw[i] <= n; i++)
		for (int j = 1; j + pw[i] - 1 <= n; j++) {
			st_mx[i][j] = max(st_mx[i - 1][j], st_mx[i - 1][j + pw[i - 1]]);
			st_mn[i][j] = min(st_mn[i - 1][j], st_mn[i - 1][j + pw[i - 1]]);
		}
}

int qry_mx(int l, int r) {
	int k = logN[r - l + 1];
	return max(st_mx[k][l], st_mx[k][r - pw[k] + 1]);
}

int qry_mn(int l, int r) {
	int k = logN[r - l + 1];
	return min(st_mn[k][l], st_mn[k][r - pw[k] + 1]);
}

int qry(int l, int r) {
	return qry_mx(l, r) - qry_mn(l, r);
}

int cal(int x) {
	int ll, rr;
	int l = x - 1, r = n; 
	while (r - l > 1) {
		int mid = (l + r) / 2;
		if (qry(x, mid) >= 0)
			r = mid;
		else
			l = mid; 
	}
	ll = r;
	
	l = x, r = n + 1;
	while (r - l > 1) {
		int mid = (l + r) / 2;
		if (qry(x, mid) > 0)
			r = mid;
		else
			l = mid; 
	}
	rr = l;
	
	if (qry(x, ll) == 0 && qry(x, rr) == 0)
		return rr - ll + 1;
	return 0;
}

int main() {
	cin >> n; 
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> a[i];
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> b[i];
	init();
	long long ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		ans += cal(i);
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

posted @ 2024-02-05 14:31 FLY_lai 阅读(8) 评论(0) 编辑收藏举报

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