CF1834

A

给出一个由 $1,-1$ 组成的序列。一次操作可以让一个数变相反。

要多少次操作，才能让整个序列和非负且积等于 $1$。

大 氵题。

B

定义两个数 $A,B$ 有一个价值：每一位上的数字的差的绝对值相加。（位数不足用前导零补齐）

给出区间 $l,r$，问在 $[l,r]$ 内选两个数，最大的价值是多少。

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找出 $l,r$ 最大的相等前缀 $k$。

$l,r$ 的最高位、次高位、第三高位、……、第 $k$ 高位，都相等，而第 $k+1$ 位不相等。

前 $k$ 位一定都相等。我们让两数的第 $k+1$ 位也不变，然后小数之后的位都选 $9$，大数之后的位都选 $0$。

答案是 $r_{k+1}-l_{k+1}+9\cdot (n-k-1)$。

C

初始给出两个字符串。

Alice 和 Bob 轮番行动，Alice 先。

Alice 每次必须修改一个字符，Bob 每次必须挑一个字符串翻转。

可能在某次 Alice 或者 Bob 操作后，两个字符串相等了。游戏结束。

Alice 的目标是最小化这个游戏的回合数（Alice 和 Bob 各走一次算两回合）。Bob 的目标相反。

问：回合数最小化是多少？

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把翻转过的字符串称作反字符串，没有翻转过/翻转抵消的字符串称作正字符串。

注意到最终匹配只有两种情况：两正字符串匹配，一正一反匹配。

分两种情况讨论即可。

D

每个学生都有一个学习区间 $[l_i,r_i]$。初始所有手的高度为 $0$。

老师每次询问一个问题 $x$，不限次数。每个问题至多询问一次。

如果 $x$ 在一个学生的学习区间中，则这个学生把手举高 $1$ 单位；否则降低 $1$ 单位。（高度可以是负数）

你现在就是老师，可以操控每次的询问。问：所有询问之后，手最高的学生和手最低的学生，高度差最大是多少？

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考虑枚举手最高的学生和手最低的学生 $a=[l_{high},r_{high}],b=[l_{low},r_{low}]$。

那么最终的答案就是 $2\times (|a|-|a\cap b|)$。（所有 $a$ 会 $b$ 不会的问题个数，乘 $2$ 是因为一个上一个下要两倍）

现在考虑对于每个区间 $a$（$a$ 枚举），求出一个区间 $b$ 使得 $2\times (|a|-|a\cap b|)$ 最大，其实就是让交最小。

如果 $b$ 被 $a$ 包含，此时一定让 $b$ 的长度最小。

如果 $b$ 和 $a$ 交错，且在 $a$ 的左端点交错，此时一定让 $b$ 的右端点越小越好。（当然，最好就是小到连 $a$ 的左端点都够不上，此时交的长度为 $0$）

如果 $b$ 和 $a$ 在 $a$ 的右端点交错，此时让 $b$ 的左端点越大越好。

容易发现，无论对于哪一个区间来说，我们都只需要找到 $n$ 个中长度最小的区间、右端点最小的区间、左端点最大的区间。不可能出现区间 $a_1$ 认为如果在包含的情况下，$b$ 是最优的；但是 $a_2$ 不这么认为。

问题：

如果 $a_1$ 认为如果在包含的情况下，$b$ 是最优的；但是 $a_2$ 并不包含 $b$（交错），这个时候用 $b$ 和 $a_2$ 求答案，不就出错了吗？

并不会。因为这么做的答案肯定不会比我们另外两个交错情况下求出的区间，再和这个 $a_2$ 求答案更优。这个题目只要求不漏掉，不要求不重复。

E

求出最小的数，使得它不能表示为给定序列中任何一个连续子串的最小公倍数。

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容易发现，在左端点固定的时候，若右端点向右移动，则区间的 $\mathrm{lcm}$ 值要么不变，要么至少乘 $2$。

而对于一个质数，它不可能成为任意两个与它不等的数的 $\mathrm{lcm}$，而第 $3\times {10}^5+1$ 个是 $4256233$，所以在所有区间的 $\mathrm{lcm}$ 中，那些大于 $4256233$ 的是没有用的。

因此，记 $V=4256233$，则当左端点固定的时候，不同的有用 $\mathrm{lcm}$ 只有 $\log V$ 个。

考虑从右向左移动移动左端点，并且维护以当前点为左端点的不同 $\mathrm{lcm}$。

具体地，可以用两个 set $A,B$ 分别维护当前存在的不同 $\mathrm{lcm}$ 和所有可能有用的 $\mathrm{lcm}$，左端点左移到 $i$ 的时候，需要将 $a_i$ 放入 $A$，并遍历 $A$ 中本来就存在的区间，对 $a_i$ 取 $\mathrm{lcm}$ 后重新放入 $A$。每次更新完之后，就把当前 $A$ 中的元素放入 $B$ 中。最后对 $B$ 中的元素求 $\mathrm{mex}$ 即可。