图的匹配
【概念】
都是无向图的概念
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支配集：一个点集，使得无向图中每个点要么是点集中的点，要么与点集相邻。
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独立集：一个点集，使得点集中任意两点不相邻。
以上两个在任意图中都是 NP 问题，也就是无法在多项式时间内求解的问题。
- 点覆盖：一个点集，使得所有边都至少与点集中一个点相连。
结论：点覆盖的补集是独立集，独立集的补集也是点覆盖。
证明：若点覆盖的补集里存在一条边连接，说明这条边没覆盖；而所有边肯定不可能两端都属于独立集，所以独立集的补集一定覆盖了所有边。
推论：最小点覆盖 \(\iff\) 最大独立集。
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边覆盖：一个边集，使得所有点都有其中的邻边。（有孤立点则不存在边覆盖）
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匹配：一些不重合的点对，点对之间有边。（注意有的点可能没有被选）
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最大匹配：所有匹配中点对数量最多是多少
结论：最小边覆盖 = 最大匹配 \(k\;+ \;\)没有在匹配中选到的点的数量 \(n-2k\)。
证明（感性）：最小边覆盖每次尽量选连接两个新点的边，这就是找最大匹配。
由这个结论，我们只要求出最大匹配，就能求出最小边覆盖。
【支配集（没啥用）】
- 图的结点分为支配集 \(U\) 与补集 \(V\)，则 \(V\) 中点必然与 \(U\) 中某一个点相邻。
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极小支配集：该支配集删除任意一个点，都不再是支配集。
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最小支配集：点最少的支配集。
定理 \(\;\) \(U\) 为极小支配集，当且仅当对 \(U\) 中任意一个点 \(u\) 有如下条件，至少一个成立。
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\(u\) 不与 \(U\) 中其他点相邻。
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存在 \(v\in V\)，使 \(u\) 是 \(v\) 的唯一 \(U\) 中邻点。
定理 \(\;\) 若无孤立点，极小支配集的补集也是支配集。
定理 \(\;\) 最小支配集大小 \(\le \dfrac{n}{2}\)。
【匹配】
- 选 \(k\) 对相邻的结点，无公共点。求最大的 \(k\)。
因为一般图匹配困难一些，先说二分图。
【二分图/二部图】
可以把 \(G=(V,E)\) 的 \(V\) 分成两个点集 \(A,B\)，使 \(E\) 中的边两端都分属 \(A,B\) 的图。
二分图判定：染色法。
【二分图最大匹配】
- 无权，求最大匹配数。
法一：最大流 Dinic，\(O(m\sqrt n)\)。
Dinic 的缺点是难写、不容易做拓展；优点是快。
\(S\) 向左半边连 \(1\) 边，右半边向 \(T\) 连 \(1\) 边，左右之间的边流量都取 \(1\)。最大流就是最大匹配数。
为什么复杂度 \(O(m\sqrt n)\)？下面证明。（还没补）
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先进行 \(O(\sqrt n)\) 轮找增广路。每轮 \(O(m)\)。共 \(O(m\sqrt n)\)。
为什么每次是 \(O(m)\)？这是因为边容量全是 \(1\)，故每条边都只会在某增广路中贡献一次操作，所以总复杂度贡献是 \(O(m)\)。
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再在残余网络上找增广路，每次增加 \(1\) 流量。我们要说明距离找完所有增广路，最多还需要 \(O(\sqrt n)\) 次，共 \(O(m\sqrt n)\)。
注意网络流里流了一条 \(A\rightarrow B\) 的边，就相当于匹配了这两个点。设我们此时 \(A,B\) 匹配了的边的集合是 \(P\)，某最大匹配的匹配边集是 \(Q\)。
结论：\(P,Q\) 中的边形成了若干条锯齿状的路径。
（不可能有点的度 \(\ge 3\)，否则抽屉原理在 \(P\) 或 \(Q\) 中存在一个点的度 \(\ge 2\)，就不是匹配了）
下证：剩余的增广路 \(\le \sqrt n\) 条。
证明：因为已经做了 \(\sqrt n\) 轮 Dinic，所以剩下的增广路长度必然 \(\ge \sqrt n\) ……（待补）
法二：匈牙利算法，\(O(mn)\)。（不如 Dinic 呢 ~）
有一些概念：
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交替路径：轮换经过匹配边/非匹配边的路径。
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增广路：起止点都是非匹配点的交替路径。
依次访问 \(A\) 中点 \(i\)，尝试对 \(i\) 找增广路。
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成功找到增广路，则使增广路上所有边的匹配情况取反；
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失败，则跳过。
bool srh(int x) {
for (int j = 0; j < e[x].size(); j++)
if (!vis[e[x][j]]) {
vis[e[x][j]] = true;
if (mc[e[x][j]] == -1 || srh(mc[e[x][j]])) {
mc[e[x][j]] = x, tw[x] = e[x][j];
return true;
}
}
return false;
}
这里面 \(mc[x]\) 表示 \(x\in B\) 当前的匹配点，\(tw[x]\) 表示 \(x\in A\) 当前的匹配点。如果是 \(-1\) 表示当前没匹配。
Q：为什么 if 后面不用 vis[e[x][j]] = false？
A：因为它现在就找不到增广路，以后更找不到增广路，可以直接 vis = true 避免重复访问。
\(srh(x)\) 表示从 \(x\in A\) 出发，判断是否存在一条交替路径，如果存在，返回 true 并全部取反；否则返回 false。
匈牙利算法的缺点是慢；优点是好写、容易拓展。（比如我们只用匹配到中间的结果就行了，可以用匈牙利算法）
【最小点覆盖】
有一种求最小点覆盖的方法：
网络流，建立超源点 \(S\)，向每个 \(i\in A\) 连容量 \(1\) 的边；建立超汇点 \(T\)，每个 \(i\in B\) 向 \(T\) 连容量为 \(1\) 的边；原本存在的边设置流量为 \(+\infty\)。
求最小割就是答案。因为对于每一条 \(+\infty\) 边，两端一定有被割掉的，所以就是一个点覆盖。
复杂度：\(O(m\sqrt n)\)。
【柯尼希定理】
二分图最小点覆盖 = 最大匹配。（无权）
所以可以直接求最大匹配，然后得到最小点覆盖，再 n - 最小点覆盖得到最大独立集。
【带权】
带权之后，最大匹配和最小点覆盖就不同了。但是最小点覆盖和最大独立集还是可以互相转化。
【带权二分图最小点覆盖】
最小点权和最小点数点覆盖
把网络流求最小点覆盖中，\(s\) 向左边连的边 以及 右边向 \(t\) 连的边 的容量 设为点权。
求最小割。
复杂度：上限 \(O(nm)\)。
如果有负权点：肯定是先把所有负权点选了，然后看每一条边有没有覆盖到。把所有没覆盖到的边用网络流做。
最大点权和最小点数点覆盖
把所有点权取反，就变成上一种情况了。
【二分图带权匹配】
先保证匹配最大，再保证权值。
有点权：把每条边的权设定为两端的点权之和，变成有边权的情况。
有边权:
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费用流。中间的边的费用设定为边权，\(s\) 和 \(t\) 的边费用为 \(0\)，容量和不带权的一样，跑最大/小费用最大流。
复杂度最差 \(O(n^2m)\)，因为增广路长度最多 \(m\)，所以最多分 \(m\) 次层；一轮增广 \(O(n)\)；最大流 \(f\) 可以视为 \(n\)。
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KM 算法：\(O(n^3)\)。但注意，KM 的 \(O(n^3)\) 经常跑满，有时候还没有费用流快。解决完美匹配问题。
对每个结点进行标号 \(lab\)，使得 \(lab_u+lab_v\ge w(u,v)\)。（一定可以做到，因为可以赋值为无穷大）
\(lab_u+lab_v=w(u,v)\) 的边 \((u,v)\) 称为相等边或紧边。
当所有匹配边紧时，达到最大匹配。答案为 \(\sum lab\)。记原图为 \(G\)，当前的紧边构成图 \(G'\)。
因为 \(\sum lab\ge \sum w\)，故取相等时，\(\sum w\) 取最大。记左集为 \(U\)，右集为 \(V\)。
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首先 \(u\in U\)，令 \(lab_u\) 为 \(u\) 邻边最大权；\(v\in V\)，令 \(lab_v=0\)。
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对于 \(u_1,u_2,\dots,u_n\in U\)，依次：
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若 \(u\) 在 \(G'\) 中未匹配，则从 \(u\) 出发搜 \(G'\) 的交错路并打标记。
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判断有无增广路。
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若有，增广结束（让 \(u\) 匹配上）；无，调整 \(lab\)。怎么调整 \(lab\)？
记 \(x\) 为 \(U\) 中标记点，\(y\) 为 \(V\) 中无标记点，\(k\) 为 \(V\) 中标记点。（这里的标记是上面交错路标记）
不断重复这个过程，直到从 \(u\) 出发能找到一条增广路（直到从 \(u\) 出发能在 \(G'\) 中找到一个匹配的点）：找到 \(lab_x+lab_y-w(x,y)\) 最小值 \(d\)，然后对所有 \(lab_x-=d,lab_k+=d\)。显然这么做了之后，紧边仍然紧，而且至少让一条松边紧了。
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【一般图最大匹配】
开花树算法（Blossom）
二分图当且仅当无奇环，开花树算法对奇环做了处理。
这里的“花”就是奇环。
因为奇环没法处理，直接把奇环缩点。原本连到奇环上的
原图存在增广路，当且仅当缩图存在增广路。
【题目】
稳定婚姻
教练曰：美国就变成一般图匹配，甚至自我匹配了。
就是二分图，注意夫妻之间没有连边。
初始让每个女人 \(i\) 的初始匹配都是男 \(i\)。然后枚举男 \(i\)，尝试找增广路，如果找到了就不安全。
复杂度 \(O(nm)\)。
变换序列
简化题意：
定义 \(d(x,y)=\min(|x-y|,n-|x-y|)\)。要求构造一个字典序最小的长度 \(n\) 的序列 \(T_i\)，使得 \(d(i,T_i)\) 刚好是给定的 \(d_i\)。（或者输出不存在）\(n\le 10^4\)。
我们构造一个二分图：若 \(d(i,x)=d_i\)，则令 \(i\in A\) 向 \(x\in B\) 连一条边。问题就是求是否存在完美匹配。
显然当要求 \(d(i,x)=d_i\) 时，至多有两个 \(x\) 满足，所以复杂度可以接受。
但问题是：怎么保证字典序最小？
考虑一个中间结果：不妨假设此时 \((0,T_0=1),(1,T_1=2)\) 已经匹配好了，且是最小的使得后面能匹配的匹配。
因为 \(T_0,T_1\) 已经确定，后面改了肯定不优，我们直接锁定 \(T_0,T_1\)，后面干什么都不能动。
接下来考虑尽量让 \(T_2\) 小。令 \(T_2\) 尝试匹配尽可能小的，记作 \(t\)。此时我们只需要检查哪个原本匹配 \(t\) 的 失配了，是否还能找到增广路，就能判断 \(T_2\) 能否可以 \(=t\)。
如果真的匹配上了，因为字典序是贪心的，直接将 \(T_2\) 锁定为 \(t\)。
当然如果 \(T_2\) 配不了 \(t\)，就检查 \(t\) 更大的。
整个算法流程：先跑一个二分图匹配，然后挨个尝试变小。
复杂度是多少？
对于每个点，我们会从小到大枚举它所有邻边，尝试让那个失配的点找增广路。上面说了，一个点最多两条边，而找增广路是 \(O(m)\) 的，所以对于一个点是 \(O(m)\) 的，在这题里，也就是 \(O(2n)=O(n)\) 的。
所以总复杂度是 \(O(n^2)\) 的，当然这只是理论上限，实际上根本跑不满。
小行星
建立一个二分图：左右各 \(n\) 个点，分别表示 \(n\) 行 \(n\) 列。对于一个小行星 \((x,y)\)，则左边 \(x\) 和右边 \(y\) 之间连边。然后求最小点覆盖（最大匹配）即可。
因为左边 \(x\) 和右边 \(y\) 连边，就要求了 \(x,y\) 中必须选一个，对应了一颗小行星要么被行消除要么被列消除。
线段
把横向、纵向的线段作为二分图的左右两边。有交点的线段相互连边。
求最大独立集 = n - 最小点覆盖 = n - 最大匹配。
骑士共存问题
把每个格子抽象为结点，可以相互攻击的结点连边。
为什么是二分图？因为国际象棋棋盘黑白染色。
然后求最大独立集。
考虑用染色方法构建二分图。
长脖子鹿放置
染色方法（证明是二分图的方法）：一行一种颜色。
方格取数问题
每个格子抽象为结点，相邻格子代表的结点连边，点权是格子上的数。求最大点权和独立集。
用 sum - 最小点权和点覆盖 求。
太空飞行计划
左半边点代表实验，右半边点代表仪器。
\(s\) 向左半边点连边，容量为这个实验的收益。
右半边点向 \(t\) 连边，容量为这个仪器的花费。
一个实验 \(u\) 向它所需的所有仪器连边，容量为 \(+\infty\)。
考虑最小割，对于一个到 \(s\)(或 \(t\)) 的边被割的点：
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若是代表实验的点，代表不做这个实验。
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若是代表仪器的点，代表买这个仪器。
每个边割了，都是负收益。
这么做的意义是什么：对于一条 \(+\infty\) 边，连 \((i,j)\) 两点：代表要么不做实验 \(i\)，要么买仪器 \(j\)。
然后用所有实验的总收益减去最小割。
怎么理解？对于实验 \(i\) 和仪器 \(j\)，只有（要做 \(i\) 但是不买 \(j\)）这一种情况是矛盾的，于是用 \(+\infty\) 的边代表这个矛盾。
最后的问题：怎么求最小割？
注意不能检查每条边的容量，因为最大流流过去，一条增广路上随便选一条边都有可能。
设最小割为 \(C\)，枚举每一个点，先把它到 \(s/t\) 的容量变成 \(0\)，跑最小割。看一下最小割是否是 \(C-w\)：如果是，则必存在一个最小割方案，删除了这个点；如果更大，则恢复这条边到原来的容量。
复杂度 \(O(nm\times n)\)。
Card Game
二分等级。
每张卡片抽象为一个结点，魔力值和为质数的卡片之间连边。
尝试让二分图的左右两边代表魔力值为奇/偶的卡片。如果是“和不能为奇质数”，就是二分图；但可惜现在不是。
如果和为 \(2\)，一定是 \(1+1\)，我们尝试特判这种情况：所有 \(1\) 魔力值的结点只留一个能量最大的。
然后构建二分图，点权是卡片的能量，求最大权独立集。
