图的匹配

【概念】

都是无向图的概念

• 支配集：一个点集，使得无向图中每个点要么是点集中的点，要么与点集相邻。

• 独立集：一个点集，使得点集中任意两点不相邻。

以上两个在任意图中都是 NP 问题，也就是无法在多项式时间内求解的问题。

• 点覆盖：一个点集，使得所有边都至少与点集中一个点相连。

结论：点覆盖的补集是独立集，独立集的补集也是点覆盖。

证明：若点覆盖的补集里存在一条边连接，说明这条边没覆盖；而所有边肯定不可能两端都属于独立集，所以独立集的补集一定覆盖了所有边。

推论：最小点覆盖 $⟺$ 最大独立集。

• 边覆盖：一个边集，使得所有点都有其中的邻边。（有孤立点则不存在边覆盖）

• 匹配：一些不重合的点对，点对之间有边。（注意有的点可能没有被选）

• 最大匹配：所有匹配中点对数量最多是多少

结论：最小边覆盖 = 最大匹配 $k+$没有在匹配中选到的点的数量 $n-2k$。

证明（感性）：最小边覆盖每次尽量选连接两个新点的边，这就是找最大匹配。

由这个结论，我们只要求出最大匹配，就能求出最小边覆盖。

【支配集（没啥用）】

• 图的结点分为支配集 $U$ 与补集 $V$，则 $V$ 中点必然与 $U$ 中某一个点相邻。

1. 极小支配集：该支配集删除任意一个点，都不再是支配集。

2. 最小支配集：点最少的支配集。

定理 $$ $U$ 为极小支配集，当且仅当对 $U$ 中任意一个点 $u$ 有如下条件，至少一个成立。

1. $u$ 不与 $U$ 中其他点相邻。

2. 存在 $v\in V$，使 $u$ 是 $v$ 的唯一 $U$ 中邻点。

定理 $$ 若无孤立点，极小支配集的补集也是支配集。

定理 $$ 最小支配集大小 $\le {\displaystyle \frac{n}{2}}$。

【匹配】

• 选 $k$ 对相邻的结点，无公共点。求最大的 $k$。

因为一般图匹配困难一些，先说二分图。

【二分图/二部图】

可以把 $G=(V,E)$ 的 $V$ 分成两个点集 $A,B$，使 $E$ 中的边两端都分属 $A,B$ 的图。

二分图判定：染色法。

【二分图最大匹配】

• 无权，求最大匹配数。

法一：最大流 Dinic，$O(m\sqrt{n})$。

Dinic 的缺点是难写、不容易做拓展；优点是快。

$S$ 向左半边连 $1$ 边，右半边向 $T$ 连 $1$ 边，左右之间的边流量都取 $1$。最大流就是最大匹配数。

为什么复杂度 $O(m\sqrt{n})$？下面证明。（还没补）

1. 先进行 $O(\sqrt{n})$ 轮找增广路。每轮 $O(m)$。共 $O(m\sqrt{n})$。

   为什么每次是 $O(m)$？这是因为边容量全是 $1$，故每条边都只会在某增广路中贡献一次操作，所以总复杂度贡献是 $O(m)$。

2. 再在残余网络上找增广路，每次增加 $1$ 流量。我们要说明距离找完所有增广路，最多还需要 $O(\sqrt{n})$ 次，共 $O(m\sqrt{n})$。

   注意网络流里流了一条 $A\to B$ 的边，就相当于匹配了这两个点。设我们此时 $A,B$ 匹配了的边的集合是 $P$，某最大匹配的匹配边集是 $Q$。

   结论：$P,Q$ 中的边形成了若干条锯齿状的路径。

   （不可能有点的度 $\ge 3$，否则抽屉原理在 $P$ 或 $Q$ 中存在一个点的度 $\ge 2$，就不是匹配了）

   下证：剩余的增广路 $\le \sqrt{n}$ 条。

   证明：因为已经做了 $\sqrt{n}$ 轮 Dinic，所以剩下的增广路长度必然 $\ge \sqrt{n}$ ……（待补）

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法二：匈牙利算法，$O(mn)$。（不如 Dinic 呢 ~）

有一些概念：

• 交替路径：轮换经过匹配边/非匹配边的路径。

• 增广路：起止点都是非匹配点的交替路径。

依次访问 $A$ 中点 $i$，尝试对 $i$ 找增广路。

1. 成功找到增广路，则使增广路上所有边的匹配情况取反；

2. 失败，则跳过。

bool srh(int x) {
    for (int j = 0; j < e[x].size(); j++)
        if (!vis[e[x][j]]) {
            vis[e[x][j]] = true;
            if (mc[e[x][j]] == -1 || srh(mc[e[x][j]])) {
                mc[e[x][j]] = x, tw[x] = e[x][j];
                return true;
            }
        }
    return false;
}

这里面 $mc[x]$ 表示 $x\in B$ 当前的匹配点，$tw[x]$ 表示 $x\in A$ 当前的匹配点。如果是 $-1$ 表示当前没匹配。

Q：为什么 if 后面不用 vis[e[x][j]] = false？

A：因为它现在就找不到增广路，以后更找不到增广路，可以直接 vis = true 避免重复访问。

$srh(x)$ 表示从 $x\in A$ 出发，判断是否存在一条交替路径，如果存在，返回 true 并全部取反；否则返回 false。

匈牙利算法的缺点是慢；优点是好写、容易拓展。（比如我们只用匹配到中间的结果就行了，可以用匈牙利算法）

【最小点覆盖】

有一种求最小点覆盖的方法：

网络流，建立超源点 $S$，向每个 $i\in A$ 连容量 $1$ 的边；建立超汇点 $T$，每个 $i\in B$ 向 $T$ 连容量为 $1$ 的边；原本存在的边设置流量为 $+\mathrm{\infty }$。

求最小割就是答案。因为对于每一条 $+\mathrm{\infty }$ 边，两端一定有被割掉的，所以就是一个点覆盖。

复杂度：$O(m\sqrt{n})$。

【柯尼希定理】

二分图最小点覆盖 = 最大匹配。（无权）

所以可以直接求最大匹配，然后得到最小点覆盖，再 n - 最小点覆盖得到最大独立集。

【带权】

带权之后，最大匹配和最小点覆盖就不同了。但是最小点覆盖和最大独立集还是可以互相转化。

【带权二分图最小点覆盖】

最小点权和最小点数点覆盖

把网络流求最小点覆盖中，$s$ 向左边连的边 以及 右边向 $t$ 连的边 的容量 设为点权。

求最小割。

复杂度：上限 $O(nm)$。

如果有负权点：肯定是先把所有负权点选了，然后看每一条边有没有覆盖到。把所有没覆盖到的边用网络流做。

最大点权和最小点数点覆盖

把所有点权取反，就变成上一种情况了。

【二分图带权匹配】

先保证匹配最大，再保证权值。

有点权：把每条边的权设定为两端的点权之和，变成有边权的情况。

有边权:

1. 费用流。中间的边的费用设定为边权，$s$ 和 $t$ 的边费用为 $0$，容量和不带权的一样，跑最大/小费用最大流。

   复杂度最差 $O(n^{2}m)$，因为增广路长度最多 $m$，所以最多分 $m$ 次层；一轮增广 $O(n)$；最大流 $f$ 可以视为 $n$。

2. KM 算法：$O(n^3)$。但注意，KM 的 $O(n^3)$ 经常跑满，有时候还没有费用流快。解决完美匹配问题。

   对每个结点进行标号 $lab$，使得 $la{b}_u+la{b}_v\ge w(u,v)$。（一定可以做到，因为可以赋值为无穷大）

   $la{b}_u+la{b}_v=w(u,v)$ 的边 $(u,v)$ 称为相等边或紧边。

   当所有匹配边紧时，达到最大匹配。答案为 $\sum lab$。记原图为 $G$，当前的紧边构成图 $G^{\prime }$。

   因为 $\sum lab\ge \sum w$，故取相等时，$\sum w$ 取最大。记左集为 $U$，右集为 $V$。

   1. 首先 $u\in U$，令 $la{b}_u$ 为 $u$ 邻边最大权；$v\in V$，令 $la{b}_v=0$。

   2. 对于 $u_1,u_2,\dots ,u_n\in U$，依次：

      • 若 $u$ 在 $G^{\prime }$ 中未匹配，则从 $u$ 出发搜 $G^{\prime }$ 的交错路并打标记。

      • 判断有无增广路。

      • 若有，增广结束（让 $u$ 匹配上）；无，调整 $lab$。怎么调整 $lab$？

        记 $x$ 为 $U$ 中标记点，$y$ 为 $V$ 中无标记点，$k$ 为 $V$ 中标记点。（这里的标记是上面交错路标记）

        不断重复这个过程，直到从 $u$ 出发能找到一条增广路（直到从 $u$ 出发能在 $G^{\prime }$ 中找到一个匹配的点）：找到 $la{b}_x+la{b}_y-w(x,y)$ 最小值 $d$，然后对所有 $la{b}_x-=d,la{b}_k+=d$。显然这么做了之后，紧边仍然紧，而且至少让一条松边紧了。

【一般图最大匹配】

开花树算法（Blossom）

二分图当且仅当无奇环，开花树算法对奇环做了处理。

这里的“花”就是奇环。

因为奇环没法处理，直接把奇环缩点。原本连到奇环上的

原图存在增广路，当且仅当缩图存在增广路。

【题目】

稳定婚姻

教练曰：美国就变成一般图匹配，甚至自我匹配了。

就是二分图，注意夫妻之间没有连边。

初始让每个女人 $i$ 的初始匹配都是男 $i$。然后枚举男 $i$，尝试找增广路，如果找到了就不安全。

复杂度 $O(nm)$。

变换序列

简化题意：

定义 $d(x,y)=min(|x-y|,n-|x-y|)$。要求构造一个字典序最小的长度 $n$ 的序列 $T_i$，使得 $d(i,T_i)$ 刚好是给定的 $d_i$。（或者输出不存在）$n\le {10}^4$。

我们构造一个二分图：若 $d(i,x)=d_i$，则令 $i\in A$ 向 $x\in B$ 连一条边。问题就是求是否存在完美匹配。

显然当要求 $d(i,x)=d_i$ 时，至多有两个 $x$ 满足，所以复杂度可以接受。

但问题是：怎么保证字典序最小？

考虑一个中间结果：不妨假设此时 $(0,T_0=1),(1,T_1=2)$ 已经匹配好了，且是最小的使得后面能匹配的匹配。

因为 $T_0,T_1$ 已经确定，后面改了肯定不优，我们直接锁定 $T_0,T_1$，后面干什么都不能动。

接下来考虑尽量让 $T_2$ 小。令 $T_2$ 尝试匹配尽可能小的，记作 $t$。此时我们只需要检查哪个原本匹配 $t$ 的 失配了，是否还能找到增广路，就能判断 $T_2$ 能否可以 $=t$。

如果真的匹配上了，因为字典序是贪心的，直接将 $T_2$ 锁定为 $t$。

当然如果 $T_2$ 配不了 $t$，就检查 $t$ 更大的。

整个算法流程：先跑一个二分图匹配，然后挨个尝试变小。

复杂度是多少？

对于每个点，我们会从小到大枚举它所有邻边，尝试让那个失配的点找增广路。上面说了，一个点最多两条边，而找增广路是 $O(m)$ 的，所以对于一个点是 $O(m)$ 的，在这题里，也就是 $O(2n)=O(n)$ 的。

所以总复杂度是 $O(n^2)$ 的，当然这只是理论上限，实际上根本跑不满。

小行星

建立一个二分图：左右各 $n$ 个点，分别表示 $n$ 行 $n$ 列。对于一个小行星 $(x,y)$，则左边 $x$ 和右边 $y$ 之间连边。然后求最小点覆盖（最大匹配）即可。

因为左边 $x$ 和右边 $y$ 连边，就要求了 $x,y$ 中必须选一个，对应了一颗小行星要么被行消除要么被列消除。

线段

把横向、纵向的线段作为二分图的左右两边。有交点的线段相互连边。

求最大独立集 = n - 最小点覆盖 = n - 最大匹配。

骑士共存问题

把每个格子抽象为结点，可以相互攻击的结点连边。

为什么是二分图？因为国际象棋棋盘黑白染色。

然后求最大独立集。

考虑用染色方法构建二分图。

长脖子鹿放置

染色方法（证明是二分图的方法）：一行一种颜色。

方格取数问题

每个格子抽象为结点，相邻格子代表的结点连边，点权是格子上的数。求最大点权和独立集。

用 sum - 最小点权和点覆盖 求。

太空飞行计划

左半边点代表实验，右半边点代表仪器。

$s$ 向左半边点连边，容量为这个实验的收益。

右半边点向 $t$ 连边，容量为这个仪器的花费。

一个实验 $u$ 向它所需的所有仪器连边，容量为 $+\mathrm{\infty }$。

考虑最小割，对于一个到 $s$(或 $t$) 的边被割的点：

1. 若是代表实验的点，代表不做这个实验。

2. 若是代表仪器的点，代表买这个仪器。

每个边割了，都是负收益。

这么做的意义是什么：对于一条 $+\mathrm{\infty }$ 边，连 $(i,j)$ 两点：代表要么不做实验 $i$，要么买仪器 $j$。

然后用所有实验的总收益减去最小割。

怎么理解？对于实验 $i$ 和仪器 $j$，只有（要做 $i$ 但是不买 $j$）这一种情况是矛盾的，于是用 $+\mathrm{\infty }$ 的边代表这个矛盾。

最后的问题：怎么求最小割？

注意不能检查每条边的容量，因为最大流流过去，一条增广路上随便选一条边都有可能。

设最小割为 $C$，枚举每一个点，先把它到 $s/t$ 的容量变成 $0$，跑最小割。看一下最小割是否是 $C-w$：如果是，则必存在一个最小割方案，删除了这个点；如果更大，则恢复这条边到原来的容量。

复杂度 $O(nm\times n)$。

Card Game

二分等级。

每张卡片抽象为一个结点，魔力值和为质数的卡片之间连边。

尝试让二分图的左右两边代表魔力值为奇/偶的卡片。如果是“和不能为奇质数”，就是二分图；但可惜现在不是。

如果和为 $2$，一定是 $1+1$，我们尝试特判这种情况：所有 $1$ 魔力值的结点只留一个能量最大的。

然后构建二分图，点权是卡片的能量，求最大权独立集。