概率与期望

定义

概率：$P(A)$，表示事件 $A$ 发生的可能性。

全概率公式：若 $B_1\sim B_n$ 构成一个完备事件组（即恰好覆盖了所有可能性的事件组），则 $P(A)=\sum P(A|B_i)P(B_i)$。

期望：记作 $E(x)$，其中 $x$ 是一个随机变量。如果 $x$ 有 $a_1\sim a_k$ 的取值可能，则 $E(x)=\sum Pr(a_i)\cdot a_i$，其中 $Pr(a_i)$ 表示 $x=a_i$ 的概率。

期望的线性可加性

如果随机变量 $x$ 等于若干个随机变量 $y_1\sim y_k$ 的和，则 $E(x)=\sum E(y_i)$。

题目

• CSES1726 Moving Robot

题意：有一个 $8\times 8$ 的棋盘，每个格子上有一个机器人。每一时刻，每个机器人会等概率地从四个方向中选一个前进一步（不会出界）。求 $k$ 个时刻后棋盘上没有机器人的格子数量的期望值。$k\le 100$。

记这个期望值为 $E(x)$，记一个随机变量 $a_{i,j}\in \{0,1\}$，若为 $0$ 则表示有机器人在 $(i,j)$ 上；否则表示没有。

则 $E(x)=\sum E(a_{i,j})$。现在的问题就变成怎么求 $a_{i,j}$ 了。

考虑从每个机器人出发都做一次 DP: $dp[i][x][y]$ 表示这个机器人在 $i$ 个时刻后走到格子 $(x,y)$ 的概率。

• cycle 期望

求一个长度为 $n$ 的随机排列（置换）中轮换个数的期望值。

轮换个数 = 长度 1 的轮换个数 + 长度 2 的轮换个数 + ... + 长度 n 的轮换个数。

所以 $E(\text{总轮换个数})=\sum E(\text{长度为 }$k$\text{ 的轮换个数})$。

现在的问题就是怎么求长度为 $k$ 的轮换个数的期望值。

发现长度为 $k$ 的轮换可以等价于 $k$ 个长度为 $k$ 的序列。所以我们可以枚举长度为 $k$ 的序列，算出它构成轮换（首尾相接）的概率。即 ${\displaystyle E(x)=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}\text{长度为 k 的序列个数}\times \text{长度为 k 的序列构成轮换的概率}.}$

长度为 $k$ 的序列个数为 $A_n^k$。分步计数。要让它首尾相接，就是要第一个恰好指向第二个，这里的概率为 $\frac{1}{n}$；第二个恰好指向第三个，概率 ${\displaystyle \frac{1}{n-1}}$ ……

所以首尾相接的概率就是 ${\displaystyle \frac{1}{A_n^k}}$，则 $\text{长度为 k 的序列个数}\times \text{长度为 k 的序列构成轮换的概率}=1$。

故 $E(x)=\sum {\displaystyle \frac{1}{i}}$。