概率与期望

定义

概率：\(P(A)\)，表示事件 \(A\) 发生的可能性。

全概率公式：若 \(B_1\sim B_n\) 构成一个完备事件组（即恰好覆盖了所有可能性的事件组），则 \(P(A)=\sum P(A|B_i)P(B_i)\)。

期望：记作 \(E(x)\)，其中 \(x\) 是一个随机变量。如果 \(x\) 有 \(a_1\sim a_k\) 的取值可能，则 \(E(x)=\sum Pr(a_i)\cdot a_i\)，其中 \(Pr(a_i)\) 表示 \(x=a_i\) 的概率。

期望的线性可加性

如果随机变量 \(x\) 等于若干个随机变量 \(y_1\sim y_k\) 的和，则 \(E(x)=\sum E(y_i)\)。

题目

• CSES1726 Moving Robot

题意：有一个 \(8\times 8\) 的棋盘，每个格子上有一个机器人。每一时刻，每个机器人会等概率地从四个方向中选一个前进一步（不会出界）。求 \(k\) 个时刻后棋盘上没有机器人的格子数量的期望值。\(k\le 100\)。

记这个期望值为 \(E(x)\)，记一个随机变量 \(a_{i,j}\in \{0,1\}\)，若为 \(0\) 则表示有机器人在 \((i,j)\) 上；否则表示没有。

则 \(E(x)=\sum E(a_{i,j})\)。现在的问题就变成怎么求 \(a_{i,j}\) 了。

考虑从每个机器人出发都做一次 DP: \(dp[i][x][y]\) 表示这个机器人在 \(i\) 个时刻后走到格子 \((x,y)\) 的概率。

• cycle 期望

求一个长度为 \(n\) 的随机排列（置换）中轮换个数的期望值。

轮换个数 = 长度 1 的轮换个数 + 长度 2 的轮换个数 + ... + 长度 n 的轮换个数。

所以 \(E(\text{总轮换个数})=\sum E(\text{长度为 }\)k$ \text{ 的轮换个数})$。

现在的问题就是怎么求长度为 \(k\) 的轮换个数的期望值。

发现长度为 \(k\) 的轮换可以等价于 \(k\) 个长度为 \(k\) 的序列。所以我们可以枚举长度为 \(k\) 的序列，算出它构成轮换（首尾相接）的概率。即 \(\displaystyle E(x)=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}\text{长度为 k 的序列个数}\times \text{长度为 k 的序列构成轮换的概率}.\)

长度为 \(k\) 的序列个数为 \(A_n^k\)。分步计数。要让它首尾相接，就是要第一个恰好指向第二个，这里的概率为 \(\frac{1}{n}\)；第二个恰好指向第三个，概率 \(\dfrac{1}{n-1}\) ……

所以首尾相接的概率就是 \(\dfrac{1}{A_n^k}\)，则 \(\text{长度为 k 的序列个数}\times \text{长度为 k 的序列构成轮换的概率}=1\)。

故 \(E(x)=\sum \dfrac{1}{i}\)。