整体二分

郑哥狂喜

引入：静态区间第 k 小。给定一个数组和若干个询问，每次询问要查询某个区间中第 $k$ 小的数。

这里介绍一种整体二分的算法。

如果只有一个询问，有一种二分的算法：

初始左右端点设为整个数组的最小值和最大值，不断二分。看一下二分值 $mid$，比 $mid$ 小的数有 $t$ 个。如果 $t\ge k$，则答案一定在 $[l,mid]$ 中，否则在 $[r,mid]$ 中。

而查询区间内比 $mid$ 小的数的个数，可以用 BIT，把所有小于等于 $mid$ 的都设成 $1$，大于的设成 $0$。

这么做的时间复杂度是 $O(n\log n\log C)$，$C$ 是数的值域。

如果每个询问都这么做，复杂度 $O(nq\log n\log C)$ 太慢。考虑对所有询问整体二分，一次性多处理。

定义一个集合 $Q$ 初始包含所有询问，一个集合 $A$ 初始包含数组所有数。

一个函数 $solve(l,r,Q,A)$ 表示当前二分到区间 $[l,r]$，$Q$ 中的询问的答案在 $[l,r]$ 中，$A$ 是原数组中所有值在 $[l,r]$ 中的数的集合。

如果 $l=r-1$，则 $Q$ 中所有询问答案为 $l$。

当执行 $solve(l,r,Q,A)$，取 $mid=(l+r)/2$，枚举 $A$ 中所有数，如果这个数小于等于 $mid$，把它的位置在 BIT 上设为 $1$；否则设为 $0$。

然后枚举 $Q$ 中的询问，利用 BIT 查询它的区间内小于等于 $mid$ 的数的个数 $t$，如果 $t\ge k$，就把他放进一个集合 $q1$；否则放入 $q2$。

同时 $A$ 中小于等于 $mid$ 的放入集合 $a1$，大于的放入 $a2$。

然后递归 $solve(l,mid,q1,a1),solve(mid,r,q2,a2)$。