整体二分

郑哥狂喜

引入：静态区间第 k 小。给定一个数组和若干个询问，每次询问要查询某个区间中第 \(k\) 小的数。

这里介绍一种整体二分的算法。

如果只有一个询问，有一种二分的算法：

初始左右端点设为整个数组的最小值和最大值，不断二分。看一下二分值 \(mid\)，比 \(mid\) 小的数有 \(t\) 个。如果 \(t\ge k\)，则答案一定在 \([l,mid]\) 中，否则在 \([r,mid]\) 中。

而查询区间内比 \(mid\) 小的数的个数，可以用 BIT，把所有小于等于 \(mid\) 的都设成 \(1\)，大于的设成 \(0\)。

这么做的时间复杂度是 \(O(n\log n\log C)\)，\(C\) 是数的值域。

如果每个询问都这么做，复杂度 \(O(nq\log n\log C)\) 太慢。考虑对所有询问整体二分，一次性多处理。

定义一个集合 \(Q\) 初始包含所有询问，一个集合 \(A\) 初始包含数组所有数。

一个函数 \(solve(l,r,Q,A)\) 表示当前二分到区间 \([l,r]\)，\(Q\) 中的询问的答案在 \([l,r]\) 中，\(A\) 是原数组中所有值在 \([l,r]\) 中的数的集合。

如果 \(l=r-1\)，则 \(Q\) 中所有询问答案为 \(l\)。

当执行 \(solve(l,r,Q,A)\)，取 \(mid=(l+r)/2\)，枚举 \(A\) 中所有数，如果这个数小于等于 \(mid\)，把它的位置在 BIT 上设为 \(1\)；否则设为 \(0\)。

然后枚举 \(Q\) 中的询问，利用 BIT 查询它的区间内小于等于 \(mid\) 的数的个数 \(t\)，如果 \(t\ge k\)，就把他放进一个集合 \(q1\)；否则放入 \(q2\)。

同时 \(A\) 中小于等于 \(mid\) 的放入集合 \(a1\)，大于的放入 \(a2\)。

然后递归 \(solve(l,mid,q1,a1),solve(mid,r,q2,a2)\)。