线性基

【定义】

知识：向量组、线性空间、线性相关性。

1. 向量组：一组向量，各个维数相等。

2. 线性表示：如果一个向量能被一个向量组中若干个向量乘上系数后相加得到，称这个向量可被此向量组线性表示。

   （例如向量组 $s=(v1,v2)$，$tmp=2v1+3v2$，则 $tmp$ 可被 $s$ 线性表示）

3. 线性无关：设向量组 $v$，如果 $v$ 中任意一个向量都不能被 $v$ 中其他向量线性表示，则称 $v$ 是线性无关的。

   线性相关：向量组 $v$ 不线性无关，就线性相关。

4. 线性空间：记一个向量组 $v=(v1,v2,\dots ,vk)$，任取 $k$ 个系数 $a1\sim ak\in \mathbb{R}$，则 $v$ 的 “生成子空间” 为 $S=\{a1v1+a2v2+\cdots +akvk\}$。

   说人话，用一个向量组能线性表示的所有向量，构成这个向量组的子空间。

而对于一个线性空间 $V$ 的 “极大，线性无关，的向量组” 为 $V$ 的线性基，简称基。

可以看出，一组基可以理解为一个线性空间的简化表示。

【性质】

对于一个维度为 $n$ 的线性空间 $V$：

1. $V$ 中任意 $n+1$ 个向量构成的向量组必然线性相关。

   很好理解，类比有 $n+1$ 个方程，必然有一个冗余。

2. $V$ 中任意 $n$ 个线性无关的向量是一组基。

   因为 $n+1$ 个已经不符合线性无关的要求了，所以 $n$ 个线性无关已经是极大的了。

3. 若 $V$ 中任意向量可被向量组 $a=(a1\sim an)$ 表示，则 $a$ 是 $V$ 的一组基。

   感性理解：$n$ 维向量，至少需要 $n$ 个才能单独解开每一维，所以基至少需要 $n$ 个向量；由上可知不可有 $n+1$ 个向量。所以 $n$ 个线性无关的向量必为基。

4. $V$ 中任意取小于 $n$ 个向量，一定可以再从 $V$ 中选足够的向量，一起构成一组基。

【求法】

当给定一个向量组，想要求出它的子空间是很容易的：给每个向量乘一个系数加起来就行。

但是给定一个向量集合，求出它的基，貌似并不容易。

于是就产生了一个问题：给定一个线性空间，如何求出它的基？

（因为线性空间是无穷的，所以通过给出一个生成它的向量组表示）

【高斯消元】

考虑一下，线性基的本质就是去除了所有冗余向量。而这和消元有异曲同工之妙，我们可以使用高斯消元法来解。

要先保证高斯消元的操作：交换两行和消元是不会导致信息损失的，换而言之，交换两个向量的位置，和两个向量求和/差再替换，不会使线性空间变化。

而这是显然的，向量加减不会使线性空间变化，交换更不会。

下面进入正题。

先把向量组写成一个矩阵的形式，每一行代表一个向量，行数是向量组的大小。

对这个矩阵进行高斯消元，得到一个上三角矩阵：从左上角开始的一条斜对角线上都是 $1$，其他的都是 $0$。（其实本来对角线上方的可以不是 $0$，但是通过消元也可以除了对角线全部改成 $0$）

（不明白的回这里看）

其实这条对角线上有可能是 $0$。但是如果是 $0$，代表所有向量这一维都是 $0$，那根本就没有存在的必要。如果不是 $1$，可以用除法。

现在得到了一个上三角矩阵，这个矩阵的前 $n$ 行就是一组基。

很巧妙吧？为什么呢？

设前 $n$ 行的向量集合为 $S$。考虑 $S$ 中任意多个向量 $v1\sim vx$，不妨让它们按照在矩阵中行数大小从小到大排序。

此时 $v1$ 在矩阵中是最靠上的，按照上三角矩阵的定义，有一维 $v1$ 是 $1$，$v2\sim vx$ 都是 $0$。那 $v1$ 必不可能通过 $v2\sim vx$ 线性表示，证毕。

【贪心法求解】

初始线性基为空，考虑在不断加入新元素的过程中维护线性基。

每加入一个向量 $vec$，枚举每一维。我们只需要判断 $vec$ 是否存在无法被表示出来。

这里异或线性基和实数线性基有一点点不同。但都需要额外开一个数组 $b$，初始 $b$ 为空。

1. 异或线性基。每加入一个数 $x$，将其二进制分解从高位到低位扫。如果第 $p$ 位是 $1$，看一下 $b[p]$ 是否存在：如果是，让 $x$ 整个数异或上 $b[p]$；否则，令 $b[p]=x$。

   这个过程感性理解，每找到一个数，就用之前确定的线性基尽可能从高到低消位。实在消不了了，才把消完的加入。

   因为消完的前面一定是连续若干个位被线性基消了，而且至少消掉了原来（线性基个数）个位，所以这么做一直是线性无关的。

   void insert(unsigned long long x) {
    	for (int i = 63; ~i; --i) {
    		if (!(x >> i))
      			continue;
    		if (!b[i]) {
      			b[i] = x;
      			break;
    		}
    		x ^= b[i];
    	}
    }
   

2. 实数线性基。$b$ 数组要记录高斯消元的对角线元素。

   每加入一个向量 $v$，循环它的每一维。如果这一维 $b$ 上不是零，用贡献了这一维 $b$ 的向量把 $v$ 的这一维消成零（注意同时 $v$ 这一维后面的维度也可能被一起消掉），类似高斯消元。如果 $b$ 这一维是 $0$，把现在剩下的 $v$ 加入线性基。

   for (int i = 1; i <= n; ++i) { //插入 v[i]
       for (int j = 1; j <= m; ++j) {
           if (v[i].a[j] == 0)
               continue;
           if (b[j] == 0) { //当前线性基消不了
               b[j] = i; //把剩下的v[i]加入
               break;
           }
           double mul = v[i].a[j] / v[b[j]].a[j];
           for (int k = j; k <= m; ++k)
               v[i].a[k] -= mul * v[b[j]].a[k];
           //类高斯消元
       }
   }    
   

【复杂度】

$O(nm)$，$n$ 为向量维数，$m$ 为初始向量组大小。

【用途】

求出这个玩意，有什么用？

基很重要的一个性质，就是它能表示整个线性空间。而且它只有维度 $n$ 个向量。

一般初始给出的向量组会很多（一般 $1e5,5e5,1e6$），但一般维度比较少（不超过 $100$）。如果我们求出了线性基，就可以大大简化。（如果维度只有 $20$，甚至可以 $2^{20}$ 的搜索）

简化了向量组，无论是什么操作，都会好搞很多。

一个经典的例题：给定一些数，选若干个使异或和最大。

首先需要明确的一点是：异或可以看作不进位加法，它同时具有交换律和结合律，所以才能使用高斯消元搞线性基。不是什么向量运算都能搞线性基的。

把每一个数看作二进制数，每一位单独看作向量的一个维度，则题目可以看作 $1e5$ 个 $50$ 维向量。

对这个向量求线性基。最后会剩下不到 $50$ 个 $50$ 维向量。我们只需要用不到 $50$ 个数就能表示出原来 $1e5$ 个数表示的集合！！！

求完线性基，现在就是求异或最大值了。由于 $2^t>2^{t-1}+\cdots +1$ 的特殊性，一种想法是按照二进制最高位从大到小枚举，如果异或了可以让这一位更大就异或。

但是有上面的性质：除了对角线，其他都是 $0$，（对角线可能为 $0$ 但是不重要）直接把线性基全部异或起来，就是异或最大值了。

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同时线性基还有一些同样经典的操作：

判断一个数是否能被异或出来：

求完线性基后把这个数做类似贪心法求解过程中的插入，如果这个数最后被消成 $0$ 说明可以凑出来，否则说明不行。

求异或第 $k$ 小：

求出线性基后，从高到低枚举每个线性基。因为线性基一定是对角线都是 $1$，其余都是 $0$，所以如果当前有 $cnt$ 个元素，就有 $2^{cnt}$ 种不同的异或值。

当我们枚举到第 $p$ 个元素，判断一下 $k$ 是否大于 $2^{n-p}$，如果是，让 $k-=2^{n-p}$，同时选择异或上这个数；如果不是，不异或这个数。枚举完所有元素，就得到了异或第 $k$ 小。（有点像对 $k$ 二进制拆位，如果这一位有就异或对应的数）