线性基
【定义】
知识：向量组、线性空间、线性相关性。
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向量组：一组向量，各个维数相等。
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线性表示：如果一个向量能被一个向量组中若干个向量乘上系数后相加得到，称这个向量可被此向量组线性表示。
（例如向量组 \(s=(v1,v2)\)，\(tmp=2v1+3v2\)，则 \(tmp\) 可被 \(s\) 线性表示）
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线性无关：设向量组 \(v\)，如果 \(v\) 中任意一个向量都不能被 \(v\) 中其他向量线性表示，则称 \(v\) 是线性无关的。
线性相关：向量组 \(v\) 不线性无关，就线性相关。
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线性空间：记一个向量组 \(v=(v1,v2,\dots,vk)\)，任取 \(k\) 个系数 \(a1\sim ak\in \mathbb{R}\)，则 \(v\) 的 “生成子空间” 为 \(S=\{a1v1+a2v2+\dots+akvk\}\)。
说人话，用一个向量组能线性表示的所有向量，构成这个向量组的子空间。
而对于一个线性空间 \(V\) 的 “极大，线性无关，的向量组” 为 \(V\) 的线性基，简称基。
可以看出，一组基可以理解为一个线性空间的简化表示。
【性质】
对于一个维度为 \(n\) 的线性空间 \(V\)：
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\(V\) 中任意 \(n+1\) 个向量构成的向量组必然线性相关。
很好理解，类比有 \(n+1\) 个方程，必然有一个冗余。
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\(V\) 中任意 \(n\) 个线性无关的向量是一组基。
因为 \(n+1\) 个已经不符合线性无关的要求了，所以 \(n\) 个线性无关已经是极大的了。
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若 \(V\) 中任意向量可被向量组 \(a=(a1\sim an)\) 表示，则 \(a\) 是 \(V\) 的一组基。
感性理解：\(n\) 维向量，至少需要 \(n\) 个才能单独解开每一维，所以基至少需要 \(n\) 个向量；由上可知不可有 \(n+1\) 个向量。所以 \(n\) 个线性无关的向量必为基。
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\(V\) 中任意取小于 \(n\) 个向量，一定可以再从 \(V\) 中选足够的向量，一起构成一组基。
【求法】
当给定一个向量组，想要求出它的子空间是很容易的：给每个向量乘一个系数加起来就行。
但是给定一个向量集合，求出它的基，貌似并不容易。
于是就产生了一个问题：给定一个线性空间，如何求出它的基？
（因为线性空间是无穷的，所以通过给出一个生成它的向量组表示）
【高斯消元】
考虑一下，线性基的本质就是去除了所有冗余向量。而这和消元有异曲同工之妙，我们可以使用高斯消元法来解。
要先保证高斯消元的操作：交换两行和消元是不会导致信息损失的，换而言之，交换两个向量的位置，和两个向量求和/差再替换，不会使线性空间变化。
而这是显然的，向量加减不会使线性空间变化，交换更不会。
下面进入正题。
先把向量组写成一个矩阵的形式，每一行代表一个向量，行数是向量组的大小。
对这个矩阵进行高斯消元，得到一个上三角矩阵：从左上角开始的一条斜对角线上都是 \(1\)，其他的都是 \(0\)。（其实本来对角线上方的可以不是 \(0\)，但是通过消元也可以除了对角线全部改成 \(0\)）
（不明白的回这里看）
其实这条对角线上有可能是 \(0\)。但是如果是 \(0\)，代表所有向量这一维都是 \(0\)，那根本就没有存在的必要。如果不是 \(1\)，可以用除法。
现在得到了一个上三角矩阵，这个矩阵的前 \(n\) 行就是一组基。
很巧妙吧？为什么呢？
设前 \(n\) 行的向量集合为 \(S\)。考虑 \(S\) 中任意多个向量 \(v1\sim vx\)，不妨让它们按照在矩阵中行数大小从小到大排序。
此时 \(v1\) 在矩阵中是最靠上的，按照上三角矩阵的定义，有一维 \(v1\) 是 \(1\)，\(v2\sim vx\) 都是 \(0\)。那 \(v1\) 必不可能通过 \(v2\sim vx\) 线性表示，证毕。
【贪心法求解】
初始线性基为空，考虑在不断加入新元素的过程中维护线性基。
每加入一个向量 \(vec\)，枚举每一维。我们只需要判断 \(vec\) 是否存在无法被表示出来。
这里异或线性基和实数线性基有一点点不同。但都需要额外开一个数组 \(b\)，初始 \(b\) 为空。
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异或线性基。每加入一个数 \(x\)，将其二进制分解从高位到低位扫。如果第 \(p\) 位是 \(1\)，看一下 \(b[p]\) 是否存在：如果是，让 \(x\) 整个数异或上 \(b[p]\)；否则，令 \(b[p]=x\)。
这个过程感性理解，每找到一个数，就用之前确定的线性基尽可能从高到低消位。实在消不了了，才把消完的加入。
因为消完的前面一定是连续若干个位被线性基消了，而且至少消掉了原来（线性基个数）个位，所以这么做一直是线性无关的。
void insert(unsigned long long x) { for (int i = 63; ~i; --i) { if (!(x >> i)) continue; if (!b[i]) { b[i] = x; break; } x ^= b[i]; } } -
实数线性基。\(b\) 数组要记录高斯消元的对角线元素。
每加入一个向量 \(v\)，循环它的每一维。如果这一维 \(b\) 上不是零，用贡献了这一维 \(b\) 的向量把 \(v\) 的这一维消成零（注意同时 \(v\) 这一维后面的维度也可能被一起消掉），类似高斯消元。如果 \(b\) 这一维是 \(0\)，把现在剩下的 \(v\) 加入线性基。
for (int i = 1; i <= n; ++i) { //插入 v[i] for (int j = 1; j <= m; ++j) { if (v[i].a[j] == 0) continue; if (b[j] == 0) { //当前线性基消不了 b[j] = i; //把剩下的v[i]加入 break; } double mul = v[i].a[j] / v[b[j]].a[j]; for (int k = j; k <= m; ++k) v[i].a[k] -= mul * v[b[j]].a[k]; //类高斯消元 } }
【复杂度】
\(O(nm)\)，\(n\) 为向量维数，\(m\) 为初始向量组大小。
【用途】
求出这个玩意，有什么用？
基很重要的一个性质，就是它能表示整个线性空间。而且它只有维度 \(n\) 个向量。
一般初始给出的向量组会很多（一般 \(1e5,5e5,1e6\)），但一般维度比较少（不超过 \(100\)）。如果我们求出了线性基，就可以大大简化。（如果维度只有 \(20\)，甚至可以 \(2^{20}\) 的搜索）
简化了向量组，无论是什么操作，都会好搞很多。
一个经典的例题：给定一些数，选若干个使异或和最大。
首先需要明确的一点是：异或可以看作不进位加法，它同时具有交换律和结合律，所以才能使用高斯消元搞线性基。不是什么向量运算都能搞线性基的。
把每一个数看作二进制数，每一位单独看作向量的一个维度，则题目可以看作 \(1e5\) 个 \(50\) 维向量。
对这个向量求线性基。最后会剩下不到 \(50\) 个 \(50\) 维向量。我们只需要用不到 \(50\) 个数就能表示出原来 \(1e5\) 个数表示的集合！！！
求完线性基，现在就是求异或最大值了。由于 \(2^t>2^{t-1}+\dots+1\) 的特殊性，一种想法是按照二进制最高位从大到小枚举，如果异或了可以让这一位更大就异或。
但是有上面的性质：除了对角线，其他都是 \(0\)，（对角线可能为 \(0\) 但是不重要）直接把线性基全部异或起来，就是异或最大值了。
同时线性基还有一些同样经典的操作：
判断一个数是否能被异或出来：
求完线性基后把这个数做类似贪心法求解过程中的插入，如果这个数最后被消成 \(0\) 说明可以凑出来，否则说明不行。
求异或第 \(k\) 小：
求出线性基后，从高到低枚举每个线性基。因为线性基一定是对角线都是 \(1\)，其余都是 \(0\)，所以如果当前有 \(cnt\) 个元素，就有 \(2^{cnt}\) 种不同的异或值。
当我们枚举到第 \(p\) 个元素，判断一下 \(k\) 是否大于 \(2^{n-p}\)，如果是，让 \(k-=2^{n-p}\)，同时选择异或上这个数；如果不是，不异或这个数。枚举完所有元素，就得到了异或第 \(k\) 小。（有点像对 \(k\) 二进制拆位，如果这一位有就异或对应的数）
