可并堆

可并堆：一种支持插入、删除、修改、删除任意一个元素、求 $min$ 还有合并的数据结构。

下面的只讲可并堆中的一种：左偏树。

左偏树是二叉树，但并不是完全二叉树。它满足两个性质：① 每个结点的权值都小于等于儿子。② 每个结点 $dist(L)\ge dist(R)$，$L,R$ 分别是该结点的左右儿子。

什么是 $dist()$？在这之前，先定义 “外结点”：如果一个结点只有一个儿子或者没有儿子，则称它为 “外结点”。

再定义 $dist(v)$ 为 （$v$ 的子树中距离 $v$ 最近的外结点）与 $v$ 的距离。

容易发现，左偏树的高度实际上是 $O(n)$ 的。但是我们能找到一些神奇的性质。

性质一：$dist(v)=dist(v.R)+1$，这挺显然的，因为 $dist(L)\ge dist(R)$。

性质二：若 $dist(v)=k$，则 $sz[v]\ge 2^{k+1}-1$。

可以用归纳法证明，发现最少的情况就是 $v$ 的子树是一颗高度为 $k$ 的满二叉树。

重要性质：从一个结点往右走，最多走 $O(\log n)$ 步。

证明：结点 $u$ 往右走的步数就是 $dist(u)$，由性质二知 $dist(u)\le \log n$，所以步数 $O(\log n)$。

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接下来我们看一下这些操作。

1. Merge，合并两颗左偏树。假设合并两颗左偏树的根是 $a,b$，不妨设 $a.key<b.key$（否则 $swap$ 一下），则令 $a.L$ 为 $a.L$，$a.R$ 为 $Merge(a.R,b)$ 返回的根结点。再判断如果 $dist(a.L)<dist(a.R)$，则交换 $a.L,a.R$。

   记得返回此时的根结点 $a$。

   时间复杂度是 $O(\log n)$ 的，因为每次递归都是往右走的，而往右至多会走 $O(\log n)$ 步，所以复杂度 $O(\log n)$。

2. Insert，插入一个数，就是和一个单独的结点 Merge。

3. Query，查询最小值，返回根结点即可。

4. Delete Min，删除最小值。把根结点的左右儿子合并。

5. Delete u，删除任意一个结点 $u$，需要提前给出结点编号。合并 $u$ 的左右子树，令 $u$ 为合并后的新根结点，然后此时分两种情况。

   1. $dist(u)$ 增加了，则看一下 $u$ 是它父结点的左儿子还是右儿子。如果是左儿子，啥也不干；如果是右儿子，先判断是否已经比左子树的 $dist$ 大了，如果是，交换子树。然后再更新父结点的 $dist$。

      更新了父结点的 $dist$ 之后，再递归更新父结点的父结点，以此类推。

   2. $dist(u)$ 减少了，如果 $u$ 是右儿子，更新父结点的 $dist$，然后递归看一下父结点是左儿子还是右儿子，一路往上更新；如果 $u$ 是左儿子，看一下要不要交换左右子树，交换了也要更新父结点，再一路往上更新。

   删除任意一个结点需要额外记录这个结点的父亲是谁，是父亲的哪个儿子。

罗马游戏

模板题。除了要套一个并查集快速查询所在左偏树的根结点，注意不要按秩合并。

【模板】左偏树

这题和上一题极其相似，只是注意多个最小值优先删除编号小的，于是我们在 Merge 的时候看一下两个根如果值相等，让编号小的先上。

if (a[L].val > a[R].val)
	swap(L, R);

变成

if (a[L].val > a[R].val || (a[L].val == a[R].val && L > R))
	swap(L, R);

城池攻占

每一个结点开一个最小根左偏树，一开始每个骑士都记录在它 $c_i$ 的左偏树里。

然后进行一次 DFS，到一个结点 $u$，先递归处理它的所有儿子；处理完之后，再遍历所有儿子的左偏树，只要当前的左偏树的根小于 $u$ 的防御值，就 del_min。

此时所有儿子的左偏树存着所有打到结点 $u$ 的骑士，把这些左偏树全部 Merge 起来，然后在根结点处打一个标记，以后但凡考虑这颗左偏树里的结点，都要考虑标记，而且每当 Merge 和 del_min，都要记得 pushdown。

注意标记有两维：一维是乘法标记，一维是加法标记，和 线段树2 一样。