启发式合并

例题：CF600E

有一种暴力的想法是先 DFS 每个结点，再对每个结点 DFS 它的子树，用 $cnt$ 数组记录每个结点子树的颜色出现情况。复杂度 $O(n^2)$。

一个平平无奇的优化：第一层 DFS 的时候，把重儿子放到最后搜索。在搜索重儿子的子树后，不清空 $cnt$ 数组。然后在 DFS 这个结点的子树的时候，重儿子的颜色出现情况直接把重儿子的 $cnt$ 数组拿来用，在这基础上 DFS 轻儿子的子树。

这个优化可以把算法变成 $O(n\log n)$！

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类比并查集的按秩合并优化。每次都是小的向大的连，复杂度是小集合的规模。这样每个小集合要做贡献，规模都至少翻倍，所以复杂度 $O(n\log n)$。

这一题，每一个结点想要贡献复杂度，必须出现在某个轻儿子的子树内。而每个轻儿子的父结点的规模，至少是轻儿子规模的两倍。所以一个结点贡献的次数不会超过 $O(\log n)$。

CF1825E

可参考

$d{p}_{u,w}$ 表示把 $u$ 的子树的叶子到根的异或值全部变成 $w$ 的最小操作次数。

观察到一个性质：$d{p}_{u,?}$ 只有两种取值。

证明：若 $d{p}_{u,w1}-d{p}_{u,w2}>1$，用一次操作令 $u$ 的权值变为 $w1⨁w2$，再采用 $d{p}_{u,w2}$ 的方法。此时构造出一种方法使得所有叶子到根的异或值是 $w1$ 且只需要 $d{p}_{u,w2}+1$ 步，矛盾。

令 $S_u$ 表示令 $d{p}_{u,?}$ 取到最小值时，$w$ 的集合。

发现 $S_u$ 就是 $S_{v1\sim vk}$ 中出现次数最多的数的集合。

如果对每一个结点，都循环它的子结点，再循环它的子结点的 $s$，暴力找出现次数最多的数，显然会超时。

但是要启发式合并，好像也不太好搞啊？我们可以启发式和暴力，交叉着用。

1. 如果 $S_{v1\sim vk}$ 每个数只出现一次，用启发式合并。令 $v_{heavy}$ 为重儿子，先令 $S_u=S_{v_{heavy}}$，然后再让 $S_u$ 和其他的 $S_{vi}$ 合并。

2. 如果出现次数最多的数，至少出现两次。可以暴力用 $map$ 统计出出现次数最多的数。因为至少出现两次，所以 $|S_u|$ 至多是 ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times \sum |S_{vi}|$。

还有遗留两个问题：

1. 如何判断是否每个数只出现一次？

   我们可以先啥都不管，就先执行启发式合并的流程。等到 $S_{vi}$ 中发现一个数在当前 $S_u$ 中已经有了，才进入第二种情况。

   这样做复杂度不会爆，因为至多也就是让复杂度加上 $O(n\log n)$。

2. 如何快速让 $S_u$ 中的数异或上父结点的权值？

   我们可以设置一个偏移量，$S_u$ 中的数不是真实的让 $d{p}_{u,?}$ 最小的数，异或上偏移量才是。

XOR Tree

点权的异或路径，先来一个经典 trick：求出每个点到根的异或是多少，记为 $b_u$。两点路径的异或就是 $b_u⨁b_v⨁a_{lca}$。

注意到可以改成任意整数。所以第 $i$ 次操作直接把操作的结点改成 $2^{32+i}$，这样所有经过这个结点的异或值就都不是 $0$ 了。

把一条异或为 $0$ 的路径称为坏路径。考虑所有坏路径的 LCA。我们在这些 LCA 中取深度最深的，肯定会最优。

证明：记这个 LCA 为 $u$。$u$ 是一条坏路径的 LCA。而这条坏路径要被销毁，显然必须在这条坏路径上选一个点改了。而选其他的点 $v$ 一定不如选 $u$。因为 $u$ 是最深的 LCA，如果其他路径经过 $v$，则一定经过 $u$：否则 $v$ 才是最深的 LCA。

所以现在的任务就是快速求出最深的坏路径 LCA。但是如果每次求出所有 LCA，实在是太慢了。

可以转换一下思路：不去找所有 LCA，而是从深到浅枚举结点，判断一下这个点是否是坏路径的 LCA！

具体而言，对每个结点维护一个 set：$val[x]$ 包含 $x$ 的子树中有可能作为坏路径一段的点。为了方便，我们不记录点，而是记录这些点的 $b_{()}$。

当我们 DFS 到一个结点 $u$ 时，循环它所有的子结点 $v$，先递归 DFS $v$。

这个时候我们已经得到了所有 $val[v]$。然后看 $val[u]$ 和 $val[v]$ 中有没有两个元素可以异或得到 $0$。（注意不是直接异或得到 $0$，而是异或起来再异或 $a[u]$ 是否得到 $0$）

如果不存在，令 $val[u]$ 为所有 $val[v]$ 的并；否则，我们肯定就要修改 $u$，然后使所有通过 $u$ 的坏路径都变成不为 $0$ 的，于是 $val[u]$ 就直接当一个空集合就行了。

直接这么做肯定 TLE，但是我们可以做一个优化：在算 $val[v]$ 的并的时候，每次都是从 $val[u],val[v]$ 中选规模较小的向规模较大的合并。

这样一个 $b[x]$ 想要在合并时贡献复杂度，说明它一定是在某次在规模较小的集合中。