01 分数规划

有 $n$ 个 01变量 $x_1\sim x_n$，同时有 $a_1\sim a_n,b_1\sim b_n$.

同时有约束条件：用集合 $S$ 表示，这个 $S$ 中每一个元素表示一个 $x_1\sim x_n$ 的取法。（平时见到的题不咋有约束）

我们要给 $x_1\sim x_n$ 赋值，使得 ${\displaystyle \frac{\sum x_i{a}_i}{\sum x_i{b}_i}}$ 最大，还要满足 $x_1\sim x_n$ 的取法 $\in S$。

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先看看这个初始问题怎么解，再看拓展。

定义：

$R(x)={\displaystyle \frac{\sum a_i{x}_i}{\sum b_i{x}_i}}$，$R^{\ast }={\displaystyle \underset{x\in S}{max}R(x)}$，目标是求得 $R^{\ast }$。

$F_{\lambda }(x)=\sum a_i{x}_i-\lambda \sum b_i{x}_i$。定义 $F_{\lambda }^{\ast }={\displaystyle \underset{x\in S}{max}{F}_{\lambda }(x)}$

重要定理：

$R^{\ast }>\lambda ⟺F_{\lambda }^{\ast }>0$，$R^{\ast }\ge \lambda ⟺F_{\lambda }^{\ast }\ge 0$。

如果证明了这个定理，我们就可以得出：

（$R^{\ast }$ 与 $\lambda$） 的大小关系，和 （$F_{\lambda }^{\ast }$ 与 $0$） 的大小关系相同。

定理证明：

$R^{\ast }>\lambda ⟺\mathrm{\exists }x\in s,R(x)>\lambda ⟺\mathrm{\exists }x\in S,\sum a_i{x}_i>\lambda \sum b_i{x}_i⟺\mathrm{\exists }x\in S,\sum a_i{x}_i-\lambda \sum b_i{x}_i>0⟺\mathrm{\exists }x,F_{\lambda }(x)>0⟺F_{\lambda }^{\ast }>0$

把 $>$ 改成 $\ge$，证明过程也还是正确的。证毕。

如此我们就可以二分，然后利用 $F_{\lambda }^{\ast }$ 判断 $R^{\ast }$ 是否可行。

注意：这里 $F_{\lambda }(x),F_{\lambda }^{\ast }$ 的作用只是帮助我们判断 $R^{\ast }$ 是否可行。具体我们要怎么求出 $F_{\lambda }^{\ast }$，就具体问题具体分析。

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例题：Earthquake

每个边有两个属性 $c_i,t_i$。选出图中的一些边，构成生成树，使得 ${\displaystyle \frac{f-\sum c_i{x}_i}{\sum t_i{x}_i}}$ 最大，$x_i=0$ 表示此边没选，$x_i=1$ 表示此边选了。其中 $f$ 是给定的数。

解：

记 $ans={\displaystyle \frac{f-\sum c_i{x}_i}{\sum t_i{x}_i}}$，$f-\sum c_i{x}_i-ans\cdot \sum t_i{x}_i=0.$

目标是使 $ans$ 最大。

这里的 $F_{\lambda }(x)=f-\sum c_i{x}_i-\lambda \cdot \sum t_i{x}_i$。当我们二分一个 $\lambda$ 判断是否可行，就是要判断 $F_{\lambda }^{\ast }={\displaystyle \underset{x\in S}{max}{F}_{\lambda }(x)}$ 是否 $>0$，其中 $S$ 是所有使得选出的边构成生成树的 $x$ 的集合。

那么 $F_{\lambda }(x)=f-\sum c_i{x}_i-\lambda \cdot \sum t_i{x}_i=f-\sum x_i\cdot (c_i-\lambda t_i).$

要 $F_{\lambda }(x)$ 最大，$f$ 是常数，所以就是要 $\sum x_i\cdot (c_i-\lambda t_i)$ 最小。

问题变成了：有一些边，可以选或者不选（$x_i=0/1$），每条边有一个属性 $c_i-\lambda t_i$，要求选一些构成生成树（$x\in S$），使得选出的这些边属性之和最小。

这不就是最小生成树吗？我们将每条边的权值赋值为 $c_i-\lambda t_i$，然后跑最小生成树得到最小总和 $sum$，再判断 $f-sum$ 是否为正即可。

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最小圈

老经典了。

$ans={\displaystyle \frac{\sum w_i{x}_i}{\sum 1\cdot x_i}}$ 最小。

$F_{\lambda }(x)=\sum x_i\cdot (w_i-\lambda )$，$x\in S$，这里 $S$ 是所有构成环的边的选法集合。

我们要 $ans$ 最小，也就是要 $F_{\lambda }^{\ast }=min{F}_{\lambda }(x)<0$，也就是要选出若干条边构成环使得环的边权和小于 $0$。

这就是 SPFA 判负环。所以我们二分 $\lambda$，每条边的边权设置为 $w_i-\lambda$ 然后判断是否有负环。若有，答案可以更小；否则，答案更大。

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Signtseeing Cows

$ans={\displaystyle \frac{\sum v_i{x}_i}{\sum e_i{x}_i}}$ 最大。

$F_{\lambda }(x)=\sum x_i\cdot (v_i-\lambda \cdot e_i)$，$x\in S$，这里 $S$ 是所有构成环的选边方案。

要 $ans$ 最大，也就是 $F_{\lambda }^{\ast }=max{F}_{\lambda }(x)>0$，也就是 $\sum x_i(v_i-\lambda e_i)>0$。

但是我们只整过负环的啊？大于 $0$ 怎么弄？

很简单：$\sum x_i(\lambda e_i-v_i)<0$。

还有最后一问题：一条边的边权要设成 $\lambda e_i-v_i$，那么这个 $v_i$ 是跟着哪个端点呢？

注意到原图是有向图（无向图当作两个相反边），我们让每条边的 $v_i$ 都跟着出点或者都跟着入点即可。

Hiking

如果你发现用 $\sum _{i=1}^n{x}_i{a}_i$ 难以表示出分子/分母，可以尝试直接用 $\sum _{i=1}^{cnt}{a}_i$ 来表示。

例如此题，如果用 $\sum _{i=1}^n$ 的方式，$ans={\displaystyle \frac{?}{\sum _{i=1}^n{x}_i{b}_i}}$，发现分子不好表示。

所以我们转而用 $ans={\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^{cnt}\sqrt{|l-x_i+x_{i-1}|}}{\sum _{i=1}^{cnt}{b}_i}}$ 表示。

$F_{\lambda }(x)=\sum _{i=1}^{cnt}(\sqrt{|l-x_i+x_{i-1}|}-\lambda b_i)$。要使其最大。

$x\in S$，$S$ 是使得 $x_{cnt}=x_n$ 的所有选法集合。

我们可以用 DP 来求 $F_{\lambda }(x)$ 最大是多少。

$dp[i]$ 表示前 $i$ 个落脚地，最后一天在第 $i$ 个落脚地休息的最大 $\sum _{i=1}^{cnt}(\sqrt{|l-x_i+x_{i-1}|}-\lambda b_i)$ 是多少。$O(n^2)$ 做 DP。

判断 $dp[n]$ 的正负即可。

（DP 还原方案不再多说了）

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新生舞会

构建01分数规划 “选物品” 的模型。

画一张 $n\times n$ 的方格表，格子 $(i,j)$ 代表第 $i$ 个男生与第 $j$ 个女生配对。我们要从这些格子里面选一些，让这些格子的 ${\displaystyle \frac{\sum a_i}{\sum b_i}}$ 最大。

$x\in S$，$S$ 是选出一些格子且每行每列恰有 $1$ 个格子选出的选法集合。

$F_{\lambda }(x)=\sum x_i(a_i-\lambda b_i)$，也就是说我们重新设每个格子的价值 $c_i=a_i-\lambda b_i$。我们要 $ans$ 尽量大，所以就要 $F_{\lambda }^{\ast }$ 尽量大。

如何二分判定：每个匹配的价值是 $a_i-\lambda b_i$，求二分图带权最大完美匹配。直接上费用流。