积性函数与狄利克雷卷积

积性函数

【定义】

若对于一个数论函数 $f$，有：

对 $(a,b)=1$，有 $f(a\times b)=f(a)\times f(b)$，

称 $f$ 是一个积性函数。

特别地，若对于任意数 $a,b$，有 $f(a\times b)=f(a)\times f(b)$，

称 $f$ 是一个完全积性函数。

积性函数举例：

欧拉函数，因数个数，因数和 ……

完全积性函数举例：

幂函数 ……

【作用】

这说明，$f(a\times b)$ 是可以被 $f(a)$ 和 $f(b)$ 递推出来的。

欧拉函数的递推代码：

int pr[N], cnt = 0;
bool f[N] = {};

int phi[N] = {};

void init() {
	memset(f, true, sizeof f);
	f[0] = f[1] = false;
	phi[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (f[i]) {
			pr[++cnt] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for (int j = 1; j <= cnt && pr[j] * i <= n; j++) {
			//此时pr[j]就是pr[j]*i的最小质因数 
			f[pr[j] * i] = false;
			if (i % pr[j])
				phi[pr[j] * i] = phi[pr[j]] * phi[i];
			else
				phi[pr[j] * i] = phi[i] * pr[j];
			if (i % pr[j] == 0)
				break;
		}
	}
}

狄利克雷卷积

设 $f,g$ 是两个数论函数，则它们的狄利克雷卷积 $(f\ast g)(n)={\displaystyle \sum _{d|n}f(d)\times g(\frac{n}{d})}$。

性质：若 $f,g$ 为积性函数，则 $f\ast g$ 仍为积性函数。

证明：设 $ab=n,(a,b)=1$，记 $h=f\ast g$。

$$h(n)=h(ab)={\displaystyle \sum _{d|ab}f(d)\times g(\frac{ab}{d})}$$

$$={\displaystyle \sum _{d_1|a,d_2|b}f(d_1{d}_2)\times g(\frac{ab}{d_1{d}_2})}$$

注意到因为 $(a,b)=1$，所以 $(d_1,d_2)=1$，这就可以利用积性函数的性质了。

$${\displaystyle =\sum _{d_1|a}f(d_1)\times g(\frac{a}{d_1})\sum _{d_2|b}f(d_2)\times g(\frac{b}{d_2})}$$

$$=h(a)\times h(b)$$

证毕。

推论：$f(n)=f(p_1^{a_1})f(p_2^{a_2})\cdots f(p_k^{a_k})$，即 $n$ 的分解形式。