合集-一些数学的笔记
摘要：传送门 题意：问 \(n\) 有多少种方式，能表示为若干个连续质数之和。 简单题。用线性筛筛出 \(0\sim 10000\) 内的质数，预处理出每一个数的方案数即可。
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摘要：传送门 题意：找到两个 \(gcd\) 最大的数。\(n\le 2e5,a_i\le 1e6\)。 一种方法是枚举 \(i:1\sim n\)，\(O(\sqrt a_i)\) 把 \(a_i\) 因数的出现次数加一。 然后 \(i:1000000\sim 1\)，如果 \(cnt[i]>1\)，输
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摘要：传送门 题意：给出两个互质的正整数 \(a,b\)。求出最大的不能被表示为 \(ax+by\) 且 \(x,y\ge 0\) 的数。 结论：答案为 \(ab-a-b\)。 证明：不妨 \(a<b\)。设 \(k\) 为答案。则 \(k+a\) 肯定能被表示。（\(k\) 最大） \(k+a=ax+b
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摘要：传送门 题意：给定长度 \(n\) 数组 \(\{a\}\) 和整数 \(b,m\)，求数组 \(x\) 满足 \(\sum a_i\times x_i\equiv b\pmod m\)。 可以写成 \(a_1x_1+a_2x_2+\dots+mp=b\)。判断无解：\(gcd(a_1,a_2,\d
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摘要：传送门 洛谷传送门 朴素想法是每个 \(1\) 都向左不断找 \(d\) 个，找到 \(0\) 所需次数就是这个 \(1\) 变成 \(0\) 的时间。（如果找不到说明无解） 可以从每个 \(0\) 出发 BFS 一次，优化。
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摘要：传送门 看一个人什么时候出圈没有用。先求一个数组 \(id[i]\) 表示第 \(i\) 个出圈的是谁。 考虑第 \(i\) 个出圈的人，应该是从 \(id[i-1]+1\) 开始绕了若干圈，最后从 \(id[i-1]+1\) 走到 \(id[i]\) 的。 也就是 \(K\equiv dist(i
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摘要：传送门 求 \(G^{\sum_{d|n}C_n^d}\bmod 999911659\)。\(n,G\le 10^9\)。 费马小定理：即求 \(G^{\sum_{d|n}C_n^d\bmod 999911658}\bmod 999911659\)。 而 \(\sum_{d|n}C_n^d\bmod
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摘要：传送门 显然每一只龙对应了唯一的一把剑。用 multiset 可以求出每一把剑。于是题目就变成了： \[\begin{cases}b_1x\equiv a_1\pmod {m_1}\\b_2x\equiv a_2\pmod{m_2}\\\dots\\b_nx\equiv a_n\pmod{m_n}\
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摘要：传送门 我觉得这题最有意思的其实是 "最终会固定为一个数" 这个结论。 扩展欧拉定理：\(a^b\bmod p\)，当 \(b\ge \varphi(p)\) 时，\(a^b\equiv a^{b\bmod \varphi(p) + \varphi(p)}\pmod p\)。 所以 \(2^{2^{
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摘要：传送门 性质一：若 \(m\) 是 \(1\sim N\) 中最大的反质数，则 \(m\) 是 \(1\sim N\) 中因数个数最大的数中最小的那个。
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摘要：传送门 障碍物可以视为第 \(i\) 行放在第 \(i\) 列，因为保证每行每列障碍物有且仅有一个。 问题就变成了：求 \(\{a\}\) 满足 \(a_i\neq i\)，错排问题，用高精度递推。 没写
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摘要：【定义】 向量：每个向量由若干个标量（数）组成，每个标量都来自同一个域 \(F\)。若一个向量包含 \(k\) 个标量，称其为 \(k\) 维向量。 向量空间 \(V\)：由若干个向量组成。需要满足以下条件： \(V\) 中的向量满足加法交换律和加法结合律。 \(V\) 中存在 \(0\) 向量，\
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摘要：生成函数（generating function，简称 GF），一般只应用两种：OGF 和 EGF。 OGF 和 EGF 都是定义在一个数列上的。 【一些前置知识】 二项式卷积：\(c_n=\sum_{i=0}(^n_i)a_ib_{n-i}\)。 \(\exp(A(x))=\sum_{i\ge 0
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摘要：【EGF】 对于一个数列 \(<f_n>\)，定义其指数型生成函数（EGF）\(\hat{F}(x)=\displaystyle\sum_{n\ge 0}\dfrac{f_n}{n!}x^n\)。实际上 \(EGF<f_n>=OGF<\dfrac{f_n}{n!}>\) 定理：若 \(<a_n>\)
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摘要：【概念】 点值：给定多项式 \(f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}\) 和 \(x_1\sim x_m\)，求 \(f(x_1),f(x_2),\dots,f(x_m)\)。（\(m=n\)） 求点值的算法一般是 \(O(n^2)\) 的，但对于特殊的多项式，可以
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摘要：【多项式求逆】 【整式取模】 定义单项式取模。 \[C\cdot x^k\bmod x^n=\begin{cases}0&k\ge n\\C\cdot x^k&k<n\end{cases} \]定义多项式取模为它的每一项取模相加。 可以看出，模 \(x^n\) 相当于保留 \(0\sim n-1\)
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摘要：传送门 给定 \(n,k\)。设 \(A_i=F_i\times i^k\)，求 \(A_i\) 的前 \(n\) 项和模 \(1e9+7\)。\(F_i\) 是斐波那契数列。\(n\le 10^{18},k\le 40\)。 参考
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摘要：\(f_i\) 序列满足 \(f_i=\displaystyle\sum_{j=1}^k c_jf_{i-j}\)。\(k\le 32000,n\le 10^9\)。 已知 \(f_1\sim f_k\) 和 \(c_1\sim c_k\)。求 \(f_n\)。 这称为 "\(k\) 次齐次常系数线
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摘要：【普通多项式】 已知 \(f(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_ix^i\)，求 \(f(x+c)\) 的系数。 \[\begin{aligned} f(x+c)&=\sum_{i=0}^na_i(x+c)^i\\ &=\sum_{i=0}^na_i\sum_{j=0}
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摘要：【连续点值与下降幂多项式】 复杂度 \(O(n\log n)\) 可将两者转化。 【系数转点值】 已知 \(f(x)=\sum_{i=0}^{n}b_ix^{\underline{i}}\)，求 \(f(c),f(c+1),\dots,f(c+n)\)。 首先因为多项式平移 \(O(n\log n)
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摘要：求 \(\sum_{i=1}^n lcm(i,n)\)，\(T\le 3\times 10^5\)，\(n\le 10^6\)。 \[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n lcm(i,n)&=n\sum_{i=1}^n\dfrac{i}{(i,n)}\\ &=n\sum_{d|n
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摘要：【预备知识】 子集反演公式： \[f(S)=\sum_{T\subseteq S}g(T)\iff g(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}f(T) \]\[f(S)=\sum_{S\subseteq T}g(T)\iff g(S)=\sum_{S\subsete
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摘要：集合幂级数 在 FMT 和 FWT 里有提到过。 对于一个序列 \(a_0\sim a_N\)，定义一个多元多项式 \(A(x_1\sim x_n)=\sum_{0\le I<2^{n}}a_I\cdot x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}\)，其中 \(i_1\s
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