一些数学的笔记- - FLY_lai

Fair Warning

摘要：传送门题意：问

n

有多少种方式，能表示为若干个连续质数之和。简单题。用线性筛筛出

0 \sim 10000

内的质数，预处理出每一个数的方案数即可。阅读全文

posted @ 2024-03-04 20:06 FLY_lai 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CSES1081：Common Divisors

摘要：传送门题意：找到两个

g c d

最大的数。

n \leq 2 e 5, a_{i} \leq 1 e 6

。一种方法是枚举

i : 1 \sim n

，

O ({\sqrt{a}}_{i})

把

a_{i}

因数的出现次数加一。然后

i : 1000000 \sim 1

，如果

c n t [i] > 1

，输阅读全文

posted @ 2024-03-04 20:51 FLY_lai 阅读(34) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P3951 小凯的疑惑

摘要：传送门题意：给出两个互质的正整数

a, b

。求出最大的不能被表示为

a x + b y

且

x, y \geq 0

的数。结论：答案为

a b - a - b

。证明：不妨

a < b

。设

k

为答案。则

k + a

肯定能被表示。（

k

最大） \(k+a=ax+b 阅读全文

posted @ 2024-03-04 20:55 FLY_lai 阅读(10) 评论(0) 推荐(0) 编辑

SGU 140 题解

摘要：传送门题意：给定长度

n

数组

{a}

和整数

b, m

，求数组

x

满足

\sum a_{i} \times x_{i} \equiv b (\mod m)

。可以写成

a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + m p = b

。判断无解：\(gcd(a_1,a_2,\d 阅读全文

posted @ 2024-03-05 19:28 FLY_lai 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF1579F 题解

摘要：传送门洛谷传送门朴素想法是每个

1

都向左不断找

d

个，找到

0

所需次数就是这个

1

变成

0

的时间。（如果找不到说明无解）可以从每个

0

出发 BFS 一次，优化。阅读全文

posted @ 2024-03-05 20:43 FLY_lai 阅读(5) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P5944 出圈游戏题解

摘要：传送门看一个人什么时候出圈没有用。先求一个数组

i d [i]

表示第

i

个出圈的是谁。考虑第

i

个出圈的人，应该是从

i d [i - 1] + 1

开始绕了若干圈，最后从

i d [i - 1] + 1

走到

i d [i]

的。也就是 \(K\equiv dist(i 阅读全文

posted @ 2024-03-06 22:42 FLY_lai 阅读(11) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P2480 古代猪文题解

摘要：传送门求

G^{\sum_{d | n} C_{n}^{d}} mod 999911659

。

n, G \leq 10^{9}

。费马小定理：即求

G^{\sum_{d | n} C_{n}^{d} mod 999911658} mod 999911659

。而 \(\sum_{d|n}C_n^d\bmod 阅读全文

posted @ 2024-03-08 19:15 FLY_lai 阅读(7) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4774 屠龙勇士题解

摘要：传送门显然每一只龙对应了唯一的一把剑。用 multiset 可以求出每一把剑。于是题目就变成了： \[\begin{cases}b_1x\equiv a_1\pmod {m_1}\b_2x\equiv a_2\pmod{m_2}\\dots\b_nx\equiv a_n\pmod{m_n}\ 阅读全文

posted @ 2024-03-09 10:09 FLY_lai 阅读(18) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4139 上帝与集合的正确用法题解

摘要：传送门我觉得这题最有意思的其实是 "最终会固定为一个数" 这个结论。扩展欧拉定理：

a^{b} mod p

，当

b \geq φ (p)

时，

a^{b} \equiv a^{b mod φ (p) + φ (p)} (\mod p)

。所以 \(2^{2^{ 阅读全文

posted @ 2024-03-09 10:40 FLY_lai 阅读(7) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P1463 反质数

摘要：传送门性质一：若

m

是

1 \sim N

中最大的反质数，则

m

是

1 \sim N

中因数个数最大的数中最小的那个。阅读全文

posted @ 2024-03-14 22:44 FLY_lai 阅读(9) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P3182 放棋子

摘要：传送门障碍物可以视为第

i

行放在第

i

列，因为保证每行每列障碍物有且仅有一个。问题就变成了：求

{a}

满足

a_{i} \neq i

，错排问题，用高精度递推。没写阅读全文

posted @ 2024-03-15 19:02 FLY_lai 阅读(7) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数基础和矩阵树定理

摘要：【定义】向量：每个向量由若干个标量（数）组成，每个标量都来自同一个域

F

。若一个向量包含

k

个标量，称其为

k

维向量。向量空间

V

：由若干个向量组成。需要满足以下条件：

V

中的向量满足加法交换律和加法结合律。

V

中存在

0

向量，\ 阅读全文

posted @ 2024-03-16 09:57 FLY_lai 阅读(29) 评论(0) 推荐(0) 编辑

OGF 学习笔记

摘要：生成函数（generating function，简称 GF），一般只应用两种：OGF 和 EGF。 OGF 和 EGF 都是定义在一个数列上的。【一些前置知识】二项式卷积：

c_{n} = \sum_{i = 0} (_{i}^{n}) a_{i} b_{n - i}

。 \(\exp(A(x))=\sum_{i\ge 0 阅读全文

posted @ 2024-03-23 08:59 FLY_lai 阅读(97) 评论(0) 推荐(1) 编辑

EGF 学习笔记

摘要：【EGF】对于一个数列

< f_{n} >

，定义其指数型生成函数（EGF）

\hat{F} (x) = \sum_{n \geq 0} \frac{f_{n}}{n!} x^{n}

。实际上

E G F < f_{n} >= O G F < \frac{f_{n}}{n!} >

定理：若

< a_{n} >

阅读全文

posted @ 2024-04-05 20:43 FLY_lai 阅读(170) 评论(0) 推荐(0) 编辑

FFT 与 NTT 学习笔记

摘要：【概念】点值：给定多项式

f (x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n - 1} x^{n - 1}

和

x_{1} \sim x_{m}

，求

f (x_{1}), f (x_{2}), \dots, f (x_{m})

。（

m = n

）求点值的算法一般是

O (n^{2})

的，但对于特殊的多项式，可以阅读全文

posted @ 2024-04-13 10:47 FLY_lai 阅读(30) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多项式全家桶

摘要：【多项式求逆】【整式取模】定义单项式取模。

C \cdot x^{k} mod x^{n} = {\begin{cases} 0 & k \geq n \\ C \cdot x^{k} & k < n \end{cases}

定义多项式取模为它的每一项取模相加。可以看出，模

x^{n}

相当于保留

0 \sim n - 1

阅读全文

posted @ 2024-04-20 09:06 FLY_lai 阅读(34) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF392C Yes Another Number Sequence

摘要：传送门给定

n, k

。设

A_{i} = F_{i} \times i^{k}

，求

A_{i}

的前

n

项和模

1 e 9 + 7

。

F_{i}

是斐波那契数列。

n \leq 10^{18}, k \leq 40

。参考阅读全文

posted @ 2024-05-01 11:11 FLY_lai 阅读(13) 评论(0) 推荐(0) 编辑

FFT 优化常系数齐次线性递推式

摘要：

f_{i}

序列满足

f_{i} = \sum_{j = 1}^{k} c_{j} f_{i - j}

。

k \leq 32000, n \leq 10^{9}

。已知

f_{1} \sim f_{k}

和

c_{1} \sim c_{k}

。求

f_{n}

。这称为 "

k

次齐次常系数线阅读全文

posted @ 2024-05-12 21:50 FLY_lai 阅读(27) 评论(0) 推荐(0) 编辑

普通/下降幂多项式平移

摘要：【普通多项式】已知

f (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}

，求

f (x + c)

的系数。 \[\begin{aligned} f(x+c)&=\sum_{i=0}^na_i(x+c)^i\ &=\sum_{i=0}^na_i\sum_{j=0} 阅读全文

posted @ 2024-05-26 09:26 FLY_lai 阅读(34) 评论(0) 推荐(1) 编辑

普通多项式、连续点值、下降幂多项式的关系

摘要：【连续点值与下降幂多项式】复杂度

O (n \log n)

可将两者转化。【系数转点值】已知

f (x) = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{\underset{―}{i}}

，求

f (c), f (c + 1), \dots, f (c + n)

。首先因为多项式平移 \(O(n\log n) 阅读全文

posted @ 2024-05-26 10:07 FLY_lai 阅读(33) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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