随笔分类 -  数学

摘要:【基础定义】 笛卡尔积。 A×B={(a,b)|aA,bB}AB 各是一个集合。 运算。一般研究二元运算(加减乘除等)。 运算是一种映射。从两个集合 A,B 到一个集合 C 的映射,满足 A×B=C阅读全文
posted @ 2025-01-10 10:57 FLY_lai 阅读(30) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:集合幂级数 在 FMT 和 FWT 里有提到过。 对于一个序列 a0aN,定义一个多元多项式 A(x1xn)=0I<2naIx1i1x2i2xnin,其中 \(i_1\s 阅读全文
posted @ 2024-12-19 22:04 FLY_lai 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:【预备知识】 子集反演公式: f(S)=TSg(T)g(S)=TS(1)|S||T|f(T)\[f(S)=\sum_{S\subseteq T}g(T)\iff g(S)=\sum_{S\subsete 阅读全文
posted @ 2024-12-19 22:03 FLY_lai 阅读(36) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:杨表和 LIS、LDS、排列与序列等有紧密关系。 定义 设 x=(x1,,xm)n 的一个划分。x1x2xm。 定义 1(杨图):一个 m 行的表格,第 i 行有 xi 列(左对齐)。 定义 阅读全文
posted @ 2024-12-12 22:03 FLY_lai 阅读(30) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:抽象代数前置 【Burnside 引理】 问题引入 涂色 2×2 的方格。旋转相同算一种。有多少种本质不同染色方案? 可以数出有 6 种。 以此为例介绍 Burnside 引理。 设一种染色方案为 xga 为一种变换,表示将某种染色方案顺时针旋转 阅读全文
posted @ 2024-12-05 20:56 FLY_lai 阅读(118) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:CF 传送门 AT 传送门 两题主要 Trick 相同。CF 的还多了一个小 trick。 给定一棵根节点为 1 的二叉树 T,你需要先保留一个包含 1 号节点的连通块,然后给每个点确定一个权值 ai,使得对于每个点 u 都有其权值 au 大于等于 阅读全文
posted @ 2024-11-21 20:04 FLY_lai 阅读(7) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:题意: 给定一棵树,第 i 个点的赋值范围是 [Li,Ri]。计数:选择一条路径,将路径上的点赋值,使得极差 K;并求出每种这样赋值方案的权值和。 n200,其余 109。 看见极差,考虑枚举最小值 x,然后统计 \([x 阅读全文
posted @ 2024-11-20 21:54 FLY_lai 阅读(18) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:传送门 题意:重排序列 a,最小化 i=1ngcd(a1ai)1n105。 贪心:每次选让当前序列 gcd 最小的数。 证明:若第 i 个数的位置存在一种选法更优。假设在这个更优的方案里选了 x,在贪心的方案 阅读全文
posted @ 2024-10-08 21:25 FLY_lai 阅读(13) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:传送门 神奇的题。 这是一道交互题。 给定一个字符串 s , 我们拥有若干操作 , 但是你不知道 , 第 i 个操作形如 ai,bi 表示交换字符串 s 中的第 ai 位和 aj 位。 比如操作序列依次为 (1,2),(2,3) ,给定 阅读全文
posted @ 2024-10-07 19:49 FLY_lai 阅读(9) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:传送门 给定 n 个数列,第 i 个数列包含 ki 个不超过 m 的互不相同的正整数(从 1 开始标号)。 每一秒将每个数列中的数左移一个位置(即将每个数的下标 1 , 下标 1 的数下标变为 ki), 并记录由每个数列的第一个数 阅读全文
posted @ 2024-10-07 19:35 FLY_lai 阅读(10) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:为什么会有傻子每次计算都初始化线段树一次 …… st = SegmentTree(n) 改成 st.mdf(1, n + 1, -1) 就 += 25pts 了…… T1 大力分讨题。 首先容易观察到,当 |a|=|b|a,b 都不含 的时候,T 不含 \( 阅读全文
posted @ 2024-10-05 22:15 FLY_lai 阅读(22) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:【前置知识】 convex 与 concave:这是对于数组的概念。类比函数,下凸就是 convex,上凸就是 concave。 【<min,+>卷积问题】 考虑两个数组 a1n,b1m,定义它们的<min,+>卷积结果 c|c|=n+m阅读全文
posted @ 2024-10-03 20:31 FLY_lai 阅读(256) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:题意:给定一个 1n 的排列 a。每次可以选两个位置 i,j,耗费 1 的代价交换 ai,aj。问使得 a 升序排列的最小代价是多少,以及方案数。1n105。 求最小代价:连边 \(i\rightarrow a_ 阅读全文
posted @ 2024-10-01 10:28 FLY_lai 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:传送门 给定一棵树,带边权。1 的代价可以使某边权 ±1。求最小代价使从根到叶子距离都相等。 n3×105,we109fu(x) 表示 u 的子树内把 u 到叶子的距离都变成 x 的最小代价。\(F 阅读全文
posted @ 2024-09-17 20:28 FLY_lai 阅读(12) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:传送门 题意:给定长度为奇数的 01? 串,问多少种填法使得串可以变成 1。一次操作定义为把连续三个数变成它们的中位数。 这种计数题可以先考虑怎么判定一个串是否可以变成 1,称作合法。 根据人类智慧,可以想到 000S 合法 0S 合法,进而启示我们 阅读全文
posted @ 2024-08-16 16:14 FLY_lai 阅读(10) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:求 i=1nlcm(i,n)T3×105n106。 \[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n lcm(i,n)&=n\sum_{i=1}^n\dfrac{i}{(i,n)}\ &=n\sum_{d|n 阅读全文
posted @ 2024-07-07 15:28 FLY_lai 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:【连续点值与下降幂多项式】 复杂度 O(nlogn) 可将两者转化。 【系数转点值】 已知 f(x)=i=0nbixi,求 f(c),f(c+1),,f(c+n)。 首先因为多项式平移 \(O(n\log n) 阅读全文
posted @ 2024-05-26 10:07 FLY_lai 阅读(33) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:【普通多项式】 已知 f(x)=i=0naixi,求 f(x+c) 的系数。 \[\begin{aligned} f(x+c)&=\sum_{i=0}^na_i(x+c)^i\ &=\sum_{i=0}^na_i\sum_{j=0} 阅读全文
posted @ 2024-05-26 09:26 FLY_lai 阅读(33) 评论(0) 推荐(1) 编辑
摘要:fi 序列满足 fi=j=1kcjfijk32000,n109。 已知 f1fkc1ck。求 fn。 这称为 "k 次齐次常系数线 阅读全文
posted @ 2024-05-12 21:50 FLY_lai 阅读(27) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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