最大子序和

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

提示：

1 <= nums.length <= 105
-104 <= nums[i] <= 104

进阶：如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的 分治法 求解。

解法一：动态规划+贪心思想

首先要明白以下几点：

1. 设置dp[i]为第i位的暂存值（注意：不是最大值，只是下标滑到第i位时，dp的数值）
2. 最大子序和的第一位一定为 正数，
3. 如果一个序列全为负数，那么就要求负数的最大值（不要想当然的觉得最大数大于0！然后就随随便便的把dp[i]=0），
4. 如果dp[i-1]<=0,那么就要勇敢舍弃前面算的，从当前位重新开始（违反第2条）。
5. 如果dp[i-1]>0,当然要加上当前位（贪心），至于加上当前位后是会减少dp[i]或者增加,留给下一个循环去判断。

代码如下：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {

        int [] dp = new int [nums.length];
        dp[0] = nums[0];

        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            if(dp[i-1]<=0){
                dp[i] = nums[i];
            }
            else{
                dp[i] = dp[i-1]+nums[i];
            }
        }
        java.util.Arrays.sort(dp);
        return dp[nums.length-1];
    }
}

上述代码并没有清楚的写出动态规划的统一方程，但由for循环中的两个if，

    if(dp[i-1]<=0){
        dp[i] = nums[i];
    }
    else{
        dp[i] = dp[i-1]+nums[i];
    }

可以推测dp公式：dp[i] = nums[i]+Math.max(dp[i-1], 0)

故上述代码可简化为：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {

        int [] dp = new int [nums.length];
        dp[0] = nums[0];
        int max = dp[0];
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            dp[i] = nums[i] + Math.max(dp[i-1], 0);
            max = Math.max(dp[i], max);
        }
        return max;
    }
}

继续优化

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int temp_i = nums[0];
        int max = nums[0];
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            temp_i = nums[i] + Math.max(temp_i, 0);
            max = Math.max(temp_i, max);
        } 
        return max;
    }
}