[浅谈] 欧拉函数

definition

$\phi (n)$ 表示不超过 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数的个数。
欧拉函数是一个数论函数（定义域为正整数）和积性函数（对于互质的正整数 $a,b$ 满足 $f(a,b)=f(a)f(b)$ ）

积性函数的性质：
$n=\prod p_i^{a_i}(p_i\mathrm{为}\mathrm{质}\mathrm{数})$
$f(n)=\prod f(p_i^{a_i})$ 。

theorem

1. $\phi (p)=p-1(p\mathrm{为}\mathrm{质}\mathrm{数})$
2. $\phi (p^a)=p^a-p^{a-1}=(p-1)p^{a-1}(p\mathrm{为}\mathrm{质}\mathrm{数})$
   因为 $px$ 与 $p^a$ 不互质，总共有 $p^{a-1}$ 个这样的数，剩下的数就是与它互质的数。
3. 由 $2$ 推得： $\phi (n)=\prod \phi (p_i^{s_i})，\phi (n)=\prod (p_i-1)p_i^{s_i-1}=n\prod (1-\frac{1}{p_i})$
4. 由积性函数：$\phi (2n)=\phi (n)(n\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{数})$
5. $n=\sum _{d|n}\phi (d)$
6. $\phi (n)\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{数}(n>2)$
7. 欧拉定理： 对于互质正整数 $a,m$ 且 $m\ge 2$ ，$a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$
8. 费马小定理： 对于质数 $m$ 且 $a$ 不为 $m$ 的倍数， $a^{m-1}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$
9. 拓展欧拉定理：
   $(a,m)=1,\mathrm{则}{a}^b\equiv a^{b\mathrm{mod}\phi (m)}(\mathrm{mod}m)$
   $b\ge \phi (m),\mathrm{则}{a}^b\equiv a^{(b\mathrm{mod}\phi (m))+\phi (m)}(\mathrm{mod}m)$
   例题：
   P4139 上帝与集合的正确用法
   CF906D Power Tower

定义求欧拉函数

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int phi(int x){
	int p=1;
	for(int i=2;i*i<=x;i++){
		if(x%i)continue;
		p*=i-1;x/=i;
		while(x%i==0)p*=i,x/=i;
	}
	if(x>1)p*=x-1;
	return p;
}

筛法求欧拉函数

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phi[1]=1;bk[1]=1;
for(int i=2;i<=maxn;i++){
	if(!bk[i]){
		prime[++tot]=i;
		phi[i]=i-1;
	}
	for(int j=1;j<=tot;j++){
		if(i*prime[j]>maxn)break;
		bk[i*prime[j]]=1;
		phi[i*prime[j]]=phi[i]*(i%prime[j]?prime[j]-1:prime[j]);
		if(i%prime[j]==0)break;
	}
}

CF906D Power Tower

拓欧的应用不过是给指数运算取模罢了。

$w_{l+1}^{w_{l+2}^{...}}\ge \phi (P)\Rightarrow w_l^{w_{l+1}^{...}}\mathrm{mod}P=w_l^{w_{l+1}^{w_{l+2}}\mathrm{mod}\phi (P)+\phi (P)}\mathrm{mod}P$

$w_{l+1}^{w_{l+2}^{...}}<\phi (P)\Rightarrow w_l^{w_{l+1}^{...}}\mathrm{mod}P=w_l^{w_{l+1}^{w_{l+2}}\mathrm{mod}\phi (P)}\mathrm{mod}P$

递归终点显然是 $P=1$ 或 $l=r$ 。因为 $P$ 下降的很快，大概是 $\log$ 级别，所以直接递归即可，不用优化。

那么剩下的问题就在分类上了：我们不知道 $w_{l+1}^{w_{l+2}^{...}},\phi (P)$ 之间的大小关系。
一种可行的方法是对取模做手脚，取模时对于 $x>P$ 时，变为 $x\mathrm{mod}P+P$ 。 这样倘若大于，就自动加上了 $\phi (P)$ 。

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#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int M=1e5+110;
int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c>'9' || c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0' && c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
map<int,int>mp;
int n,P,q,a[M];
int nmo(int x,int p){
	return x<p?x:(x%p+p);
}
int ksm(int x,int y,int pp){
	int sum=1;
	while(y){
		if(y&1)sum=nmo(sum*x,pp);
		x=nmo(x*x,pp);y>>=1;
	}
	return sum;
}
int getphi(int x){
	int ans=1;
	for(int i=2;i*i<=x;i++){
		if(x%i)continue;
		ans*=i-1;x/=i;
		while(x%i==0)
			ans*=i,x/=i;
	}
	if(x>1)ans*=x-1;
	return ans;
}
int solve(int i,int r,int p){
	if(i==r || p==1)return nmo(a[r],p);
	int yp=(mp[p]?mp[p]:(mp[p]=getphi(p)));
	return ksm(a[i],solve(i+1,r,yp),p);
}
signed main(){
	n=read();P=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
	q=read();
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int l=read(),r=read();
		printf("%lld\n",solve(l,r,P)%P);
	}
	return 0;
}