[浅谈] 高斯消元

$\text{P3389 【模板】高斯消元法}$

所谓高斯消元就是解个 $n$ 元一次方程。
用矩阵记录每个方程的系数满足第 $i$ 个方程：$a[i][1]x_1+a[i][2]x_2+\cdots +a[i][n]x_n=a[i][n+1]$

然后从消元，一个一个项消元，如消除 $i$ 项。先选定一个此项系数绝对值最大的方程（这样可以减小误差？），然后将他的未知数 $i$ 的系数化为 $1$ ，然后把剩下的方程与它相减消除未知数 $i$ 。

最后一一带回字符串。实现的细节还得看代码。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps=1e-8;
int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c>'9' || c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0' && c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n;
double mp[110][110],ans[110];
int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n+1;j++)
			scanf("%lf",&mp[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int rcd=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(fabs(mp[rcd][i])<fabs(mp[j][i]))rcd=j;
		if(fabs(mp[rcd][i])<eps){
			printf("No Solution\n");
			return 0;
		}//找到系数最大的方程 
		if(i!=rcd)swap(mp[i],mp[rcd]);//换到当前行 
		double div=mp[i][i];//这个地方必须提出来，不然mp[i][i]会被修改
		for(int j=i;j<=n+1;j++)
			mp[i][j]/=div;//将此方程系数变为1 
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			div=mp[j][i];//这个地方必须提出来，不然mp[j][i]会被修改
			for(int k=i;k<=n+1;k++)
				mp[j][k]-=mp[i][k]*div;//消元 
		}
	}
	ans[n]=mp[n][n+1];
	for(int i=n-1;i>=1;i--){
		ans[i]=mp[i][n+1];
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			ans[i]-=mp[i][j]*ans[j];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.2lf\n",ans[i]);
	return 0;
}

$\text{P4035 [JSOI2008]球形空间产生器}$

球心到所有点距离是一定的。我们把到第一个点的距离作为半径，球心到其他点的距离都等于这个半径：设球的圆心坐标用 $b$ 表示：
$(a_1^2-2a_1{b}_1+b_1^2)+(a_2^2-2a_2{b}_2+b_2^2)=(a_{i1}^2-2a_{i1}{b}_1+b_1^2)+(a_{i2}^2-2_{i2}{b}_2+b_2^2)$
化简：
$(2a_{i1}-2a_1)b_1+(2a_{i2}-2a_2)b_2=a_{i1}^2+a_{i2}^2-a_1^2-a_2^2$
高斯消元即可。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps=1e-8;
int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c>'9' || c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0' && c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n;
double mp[110][110],ans[110],tmp[50],now;
bool GSXY(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int rcd=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(fabs(mp[rcd][i])<fabs(mp[j][i]))rcd=j;
		if(fabs(mp[rcd][i])<eps){
			printf("No Solution\n");
			return false;
		}//找到系数最大的方程 
		if(i!=rcd)swap(mp[i],mp[rcd]);//换到当前行 
		double div=mp[i][i];
		for(int j=i;j<=n+1;j++)
			mp[i][j]/=div;//将此方程系数变为1 
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			div=mp[j][i];
			for(int k=i;k<=n+1;k++)
				mp[j][k]-=mp[i][k]*div;//消元 
		}
	}
	ans[n]=mp[n][n+1];
	for(int i=n-1;i>=1;i--){
		ans[i]=mp[i][n+1];
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			ans[i]-=mp[i][j]*ans[j];
	}
	return true;
}
int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&tmp[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			scanf("%lf",&now);
			mp[i][j]=2*now-2*tmp[j];
			mp[i][n+1]+=now*now-tmp[j]*tmp[j];
		}
	} 
	GSXY();
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.3lf ",ans[i]);printf("\n");
	return 0;
}

$\text{P3232 [HNOI2013]游走}$

边太多了，我们考虑求每个点经过的期望次数。然后每个点都可以列出一个关于相邻点的 $dp$ 式，然后就高斯消元。求出每条边期望经过次数，排序求解即可。

$\text{P3211 [HNOI2011]XOR和路径}$

异或难实现，考虑按位考虑，考虑对每一位求为 $1$ 的期望。设 $f[u]$ 表示 $u->n$ 的路径的此位为 $1$ 的期望。

$\text{P3265 [JLOI2015]装备购买}$

线性基，但是高斯消元。就如线性基 $d[i]$ 存的是第 $i$ 位为最高位且为 $1$ 的数。我们存的是一组最前面没被消为 $0$ 的未知数是 $x_i$ 的方程。
另外这题卡精度，得用逆元，我用的模数：$1e6+33$

$\text{P2447 [SDOI2010] 外星千足虫}$

这个条件显然可以用二分答案+高斯逆元，做完发现其实操作就是异或。但是会超时，因为只有 $1$ 和 $0$ ，我们应该想到 $bitset$ 优化（我没就想到）。