计算几何

半成品

误差分析

比如点的范围是 \(w\)，那么斜率/极角误差要到 \(w^{-2}\)。

比如 \(w=10^9\)，选取点 \((10^9,1)~(10^9-1,1)\)，就可以估算范围是 \(\frac{1}{10^9-1}-\frac{1}{10^9}=\frac{1}{10^{18}}\)。

\(\operatorname{double}\) 最大 \(~2^{1024}\) 精度 \(10^{-15}\)
\(\operatorname{long double}\) 最大 \(~2^{2^{16}}\) 精度 \(10^{-18}\)

点积 Dot

判断角度，大于零为锐角，等于零为直角，小于零为钝角。

同时可以判断向量方向，正 OR 反。

求向量长度的时候，自己点积自己然后开方即可。

叉积 Cross

有向角 \(\theta\)，注意点积有交换律，叉积没有。
\(P_1\times P_2>0\)，\(P_2\) 在 \(P_1\) 逆时针方向。
\(P_1 \times P_2=0\)，共线，此时可以再用点积判断同向还是异向。
\(P_1 \times P_2<0\)，\(P_2\) 在 \(P_1\) 顺时针方向。

同时表示有向面积，逆时针面积为正。

极角排序

极角，\(\theta \in [-\pi,\pi)\)。
double 版本可以用函数 atan2(y,x)，如果是 long double 版本就是 atan2l
但是精度和速度不太好。于是这里可以用 cmp 函数，用叉积判断逆时针和顺时针。先判断两点在上下半边的哪里，如果(y==0&&x<0)||y<0就是在下办边，反之在上半边。如果在一边的话用叉积判断相对位置即可。

凸包

给出一些点，求可以包含这些点的最小多边形，即为凸包。
求法：\((x,y)\) 双关键字排序后先求下凸壳，再求上凸壳。用点积判断角度。严格凸包的话，等于要去掉。不严格的可以取等。
注意：如果有重点求不严格凸包会出问题，需要去重。

ICPC2023 济南M

题意：给你 \(n\) 个点，问小于等于 \(R+1\) 个点的简单多边形，包含所有点的有多少个。其中 \(R\) 为凸包大小，\(n \le 2000\)，无三点共线。
解答：先求出凸包，然后一个暴力做法就是枚举每一个内部的点，再枚举每一条边和其他的点判断点是否在三角形内即可，复杂度 \(O(n^3)\)。
考虑优化，可以枚举点再统计

ZROI 2019省选十连测 第一场 T1

有 \(n\) 个点的图，点有点权 \(a_i\)，也有点权 $b_i= \sum\limits_{j=1}^i a_j $。且 \(b_n=0\)。现在从 \(1\) 点开始遍历，经过任意点后回到点 \(1\)。从 \(i\) 点到 \(j\) 的收益式子为 \(\frac{a_i-a_i}{2 \times a_i \times a_j} \times b_i \times b_j\)。并且遍历时要求经过点的 \(b\) 权值，在到达某个村庄之前是单调不降的，而之后又是单调不增的。求最大收益，保留五位小数。

法一：排序枚举断点跑 spfa

法二：最长双调路径 dp

正解：我们发现收益式子很神秘，考虑拆开并且把相同下标地放一起，得到

\[w=\frac{1}{2}(\frac{B_j}{A_j}B_i-\frac{B_i}{A_i}B_j) \]

这是一个向量叉乘的结果，考虑平面上的 \(n\) 个点\((B_i,\frac{B_i}{A_i})\)，发现只需要维护一个凸包即可。

北京2018

经典问题

最近点对

KDT/分治/划格子
枚举 \(i \in[1,n]\)，设 \(M\) 为目前最近点对的距离。

最小三角形

分治，先把点集按照中位数划分为两部分，然后分别求出两边的最小三角形。设目前最小的是 \(D\)，于是沿着中间线向两边分别延长 \(\frac{D}{2}\)，枚举每一个点再向下枚举 \(\frac{D}{2}\)。随机情况下 \(\frac{D}{2}\) 的矩形内点的个数为 \(O(1)\)。

ABC 234 Ex

划分格子

APIO2018

香港2022

题意：求区间最近点对。
KDT和分治显然不行。于是考虑划格子，第 \(i\) 份格子的边长为 \(2^{i+1}\)，于是范围在 \([2^i,2^{i+1})\)，

ucup2 Delft B

给定 \(n\) 个点，在边数为 \([3,k]\) 的路径，中最小化 \(\max(d(p_i,p_{i+1}))\)，最小化的前提下求 \(k_{min}\)，最后再求满足上述两个条件的路径个数。\(k \le30~n\le2\times 10^5\)
先求 \(k=3\) 的时候的答案，设为 \(M\)。
注意如果给的是点坐标而非点点近距离，要多从几何角度考虑。

ucup Delft H

给你 \(n\) 个点，有权值，要求找到一个矩形，满足内部点权值和-边长最大。矩形不要求与坐标轴平行。 n 400 8S

V图

概念：给 \(n\) 个点，求出对于每个点，以它为最近点的区域。
求法1：对于每个点求出它与其他点的中垂线，然后再半平面交。
求法2：随机切凸包

凸壳dp技巧

给 \(n\) 个点，求 \(5\) 个点的凸包的个数。
转化求一个环使得斜率递增。dp 状态枚举起点 \(s\)，边 \((i,j)\) ，到的点个数，复杂度太大。可以对于 \(n^2\) 个点求向量，极角排序。枚举向量， \(dp(s,t)\) 表示从 \(s\) 出发只经过枚举过的向量到达 \(t\) 的方案数，对于边 \((u,v)\) ，有 \(dp(s,u) \to dp(s,v)\)

Best Sun

快速点定位

离线从左往右扫描线，维护一下各平面上下顺序。
在线，平衡树树 \(\to\) 可持久化平衡树，\(O(n\log n)\)，难写。可以用树套树复杂度 \(O(n\log^2n)\)，本质上求每个点最上面一条线是什么。

面积

求多边形面积

1. 积分
2. \(\frac{1}{2}\sum(P_i \times P_{i+1})\)

圆交面积

圆交

余弦定理

求解

弓形+多边形/格林公式（微积分）

辛普森积分

\(f(x)\) 表示图形与 \(x=t\) 交线的长度。所以面积为 \(\int f(x)dx\)，不好直接积分。可以近似一下。如果 \(f(x)\) 为三次以下多项式就可以近似为 \(\frac{1}{6}(r-l)(f(l)+f(r)+4f(\frac{l+r}{2}))\)。

圆上经典问题

圆覆盖点

平面上有 \(n\) 个点，找一个圆覆盖其中 \(k\) 个点，问最小半径。
二分答案 \(R\)，以每个点为圆心做一个半径为 \(R\) 的圆，查找是否有区域被覆盖了至少 \(k\) 次，区域查改为查圆弧交的次数。复杂度为 \(O(n^2\log n \log w)\)，可以进一步优化。可以对于枚举每个圆单独二分，考虑第 \(i\) 个圆之前的答案，先看看这个圆能否满足，不过不满足就取判断下一个圆，如果满足就说明这个圆可能更新最小答案，那就对前 \(i\) 个圆整体的二分一次。先随机打乱圆，这样每个圆可能更新答案的概率是 \(\frac{1}{i}\)，那么这一部分的期望复杂度就是 \(O(\sum\frac{1}{i}*i^2\log n\log w)\)。

PKUWC2018

求圆与一个简单多边形交的圆弧长度。

CF1446F Line Distance

经典二分答案，然后判断个数。然后需要以圆点为圆心画一个 \(R\) 的圆。如果在园内和圆上的点显然对其他所有点连线距离满足。园外两点连线需要与圆相切或相交，考虑最极限的情况，

CCPC Guangzhou 2021 L

考虑 \(k_i=1\)，判断点是否在凸包内（求每一段直线，用叉积判断点是否在两段直线中间）。二分求切线即可。如果 \(k_i>1\)，

闵可夫斯基和

给定两个凸包 \(A~B\)，求凸包 \(C=A+B\)。

JSOI2018

居然一眼秒了。直接求 \(A-B\) 的闵可夫斯基和，判断向量是否在其中。

Yoko

混合饮料的过程就是缩小凸包的过程，于是直接求出原始饮料的闵可夫斯基和，以及目标饮料的闵可夫斯基和。判断是否包含。

CF1019E Raining season

简单多边形点包含

1.在内部/外部，作射线看有奇/偶个交点。
2.在边上，枚举边。

WF2017A