ABC134F Permutation Oddness

[ABC134F] Permutation Oddness

好题，牛牛的一个套路 —— $\mathsf{\text{H}}$$\mathsf{\text{anghang}}$

写起来简单，想起来难的一个东西，难点主要是在 状态设置 上

我们可以把 $1\sim N$ 拆点，于是原题相当于求一个 二分图的完美匹配，并使其 怪异度为 $k$

我们考虑设置 $f_{i,j,k}$ 三个状态

分别表示 当前考虑了前 $i$ 对点，当前有 $j$ 对 没有匹配上，当前怪异度为 $k$

显然最终答案就是 $f_{N,0,K}$

这里可以发现，当前没有匹配上 其实就是 最终匹配上的点不是前 $i$ 对点

我们顺序枚举三个状态，当每次 一个新点加入考虑（++i）时，容易发现以下 三种情况

注意，下面 第三维 表示 怪异度 的值 $x$ 均 没有实际意义，且 不代表同一个变量

可以理解成 占位符，关于 怪异度 的部分最后会讨论

1. 新的点中 一对都都没匹配上

   显然 此时 没匹配上的对数 $j$ 多了一个（新增一对，没有匹配）

   于是我们需要从 $f_{i-1,j-1,x}$ 处转移

   我们当前只考虑前 $i$ 对点，也就是将 当前没匹配上（实际匹配 $i-1\sim N$）的均看作 一种情况

   故 两者都没匹配上 的可能 只有一种，这里的贡献应当是 $f_{i-1,j-1,x}$

2. 新的点中 匹配上了一对

   显然 此时 没匹配上的对数 $j$ 不变（新增一对，匹配一对），我们从 $f_{i-1,j,x}$ 处转移

   而 匹配的这一对 有可能是 左部点 $L_i$ 匹配到一个 $R_1\sim R_{i-1}$ 中未被匹配的右部点，共 $j$ 个

   也可能是 右部点 $R_i$ 匹配到一个 $L_1\sim L_{i-1}$ 中未被匹配的左部点，共 $j$ 个

   还可能是 这一对点 $(L_i,R_i)$ 互相匹配，显然一共三种情况，有 $2j+1$ 种可能匹配

   于是这里的贡献应当是 $(2j+1)f_{i-1,j,x}$

3. 新的点中 匹配上了两对

   显然 此时 没匹配上的对数 $j$ 少了一个（新增一对，匹配两对），我们从 $f_{i-1,j+1,x}$ 处转移

   显然 $L_i$ 可以找 $R_1\sim R_i$ 中 未被匹配的点，共 $j+1$ 个

   同时 $R_i$ 可以找 $L_1\sim L_i$ 中 未被匹配的点，共 $j+1$ 个

   当时想为什么这里是 $j+1$ 而不是 $j$，挺唐诗的

   我们是从 前 $i-1$ 对点，还剩 $j+1$ 对未匹配的 $f_{i-1,j+1,x}$ 处转移过来的

   当然有 $j+1$ 种选择，而 $f_{i,j,x}$ 只是表示 当前情况，与 能选择的种数无关

   容易知道，$L_i$ 与 $R_i$ 的选择 互不干扰，于是最终将产生 $(j+1{)}^2$ 种 可能匹配

   于是这里的贡献应当是 $(j+1{)}^2{f}_{i-1,j+1,x}$

加在一起，最终的式子就是 $f_{i,j,x}=f_{i-1,j-1,x}+(2j-1)f_{i-1,j,x}+(j-1{)}^2{f}_{i-1,j+1,x}$

这时我们来考虑一直忽略的 怪异度 这一维，这里提供一种和 现行题解 不完全相同的理解方式

前面部分参考题解，我们给对 对应点 $(L_i,R_i)$ 之间 连线

那么 怪异度 就是 完美匹配 中 跨过连线 的 条数，这里可以参考 Tan_Wei_Ye 的 这篇题解

我们一直只考虑 前 $i$ 对点的情况，也就是不要把 线 在一开始连完

只当枚举到 $i$ 时，才考虑 $L_i,R_i$ 的对应的线 产生的贡献，而此时有 $j$ 对没匹配上

换言之就是 $L_1\sim L_i,R_1\sim R_i$ 中 共有 $2j$ 个点 最终 将匹配到 $L_{i+1}\sim L_N,R_{i+1}\sim R_N$

也就是有这 $2j$ 个点 将会跨过 $L_i,R_i$ 对应的线，于是产生 $2j$ 的 怪异度

这时就可以 准确地描述 上面的转移了，我们每次一定增加 $2j$ 的怪异度，最终方程如下

根据我们对 怪异度 的理解可以发现，上面的分类讨论 与 此处怪异度的贡献 并无关系

故 不用担心 上面分类讨论时 忽略怪异度 而对正确性造成影响

$$f_{i,j,k}=f_{i-1,j-1,k-2j}+(2j+1)f_{i-1,j,k-2j}+(j+1{)}^2{f}_{i-1,j+1,k-2j}$$

枚举并转移即可，具体见代码

由于我们 怪异度 在转移过程中 不会减少（不会有 $f_{i,j,k}$ 需要用到 $f_{x,y,z}z>k$）

故我们第三维转移只需要 终止在 需求的 $K$ 即可，不需要转移到 理论怪异度上界 $N^2$

#include <bits/stdc++.h>

const int MAXN = 55;
const int MOD  = 1000000007;

using namespace std;

int F[MAXN][MAXN][MAXN * MAXN];
int N, K;

int main () {
	
	cin >> N >> K, F[0][0][0] = 1;
	
	for (int i = 1; i <= N; ++ i)
		for (int j = 0; j <= i; ++ j)
			for (int k = j * 2; k <= K; ++ k)
				F[i][j][k] = (1ll * ((j << 1) + 1) * F[i - 1][j][k - (j << 1)] + 1ll * (j + 1) * (j + 1) * F[i - 1][j + 1][k - (j << 1)] + (j > 0) * F[i - 1][j - 1][k - (j << 1)]) % MOD;
	
	cout << F[N][0][K] << endl;
	
	return 0;
}