基础矩阵学习笔记

基础知识

矩阵的概念

矩阵（ \(matrix\) ）是一个由数排列成的矩形，例如

\[A= \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} &a_{2,2}&a_{2,3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 2&3 \\ 4 & 5&6 \end{bmatrix} \quad \]

是一个 \(2\times3\) 的矩阵 \(A=(a_{i,j})\)。其中 \(i=1,2\)，\(j=1,2,3\)。第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素用 \(a_{i,j}\) 表示。

由此，可以开一个结构体 \(Matrix\)，并作初始化。

struct Matrix
{
    int a[N][N];	
    Matrix()
    {
        memset(a,0,sizeof a);
    }
}a,ans;

矩阵的运算

加法和减法就是每个对应的元素加或减。但是注意，两个矩阵行数、列数要相等。

Matrix operator +(const Matrix x)
{
    Matrix z;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            z.a[i][j]=(a[i][j]+x.a[i][j])%mod;
        }
    }
    return z;
}

乘法比较复杂 \(qwq\)。有两个矩阵 \(Z\) 和 \(Y\)。当 \(Z\) 的列数等于 \(Y\) 的行数时，定义一个矩阵 \(Z\)，可得 \(Z=XY\)。如果 \(X\) 是 \(m\times n\) 矩阵，\(Y\) 是 \(n\times p\) 矩阵，那么 \(Z\) 是 \(n\times p\) 矩阵。

其中 \(Z_{i,j}\) 满足

\[Z_{ij}=\sum_{k=1}^mX_{ik}Y_{kj} \]

根据这个定义容易得到 \(O(n^3)\) 的矩阵乘法，由于作者很逊，所以不会复杂度更优秀的做法。

Matrix operator *(const Matrix x)
{
    Matrix z;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int k=1;k<=n;k++)//据说k写在第二层循环会快一点？
        {   
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                z.a[i][j]=(z.a[i][j]+a[i][k]*x.a[k][j])%mod;
            }
        }
    }
    return z;
}

然后，去做做这道题练手吧

对了，矩阵乘法还有个性质，就是矩阵乘法也是满足乘法结合律的，这对接下来很有帮助。

逆矩阵

在取模下，每个元素 \(a\) 都有唯一的逆元 \(a^{-1}\) 使得 \(a\times a^{-1}=a^{-1}\times a=1\)。（可以用 \(exgcd\) 来计算）

同样，对于 \(n\times n\) 的矩阵，也存在一些特殊的矩阵 \(A\) 存在唯一的逆元 \(A^{-1}\) 使得 \(A\times A^{-1}=A^{-1}\times A=I_{n}\)，其中 \(I_{n}\) 是 \(n\) 阶的单位矩阵。

\[ I{n}= \begin{bmatrix} 1&0&\cdots&0\\0 &1&\cdots&0\\\vdots &\vdots &\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1 \end{bmatrix} \]

矩阵快速幂

传送门

就是一个快速幂不过把之前的数变成了矩阵而已。

构造矩阵

讲的差不多了，讲下构造矩阵吧 \(qwq\)。

例题 \(1\)：

先定义一个 \(1\times 2\) 的矩阵

\[ \begin{bmatrix} fib_{n-2}&fib_{n-1} \end{bmatrix} \]

根据题意，显然，通过递推式，我们要得到一个 \(1\times 2\) 的矩阵

\[ \begin{bmatrix} fib_{n-1}&fib_{n} \end{bmatrix} \]

然后，因为 \(fib_{n}=fib_{n-1}+fib_{n-2}\)，所以转换为

\[ \begin{bmatrix} fib_{n-1}&fib_{n-1}+fib_{n-2} \end{bmatrix} \]

设通过乘以一个 \(2\times 2\) 的矩阵 \(A\)来实现，即

\[ \begin{bmatrix} fib_{n-1}&fib_{n} \end{bmatrix} \times A= \begin{bmatrix} fib_{n-1}&fib_{n-1}+fib_{n-2} \end{bmatrix} \]

根据矩阵乘法，很容易构造出这个矩阵 \(A\)。

\[ A= \begin{bmatrix} 0&1\\1&1 \end{bmatrix} \]

因为矩阵满足乘法结合律，所以

\[ \begin{bmatrix} fib_{1}&fib_{2} \end{bmatrix} \times A^{n-1}= \begin{bmatrix} fib_{n}&fib_{n+1} \end{bmatrix} \]

的第一个元素即为所求。

例题 \(2\)：

跟例题1很类似，我们用同样的方法构造一个矩阵 \(A\)

先定义一个 \(1\times 3\) 的矩阵

\[ \begin{bmatrix} fib_{n}&fib_{n-1 }&fib_{n-2} \end{bmatrix} \]

根据题意，显然，通过递推式，我们要得到一个 \(1\times 3\) 的矩阵

\[ \begin{bmatrix} fib_{n+1}&fib_{n}&fib_{n-1} \end{bmatrix} \]

然后，因为 \(fib_{n}=fib_{n-1}+fib_{n-3}\)，所以转换为

\[ \begin{bmatrix} fib_{n}+fib_{n-2}&fib_{n}&fib_{n-1} \end{bmatrix} \]

于是就很容易构造出这个矩阵 \(A\)。

\[ A= \begin{bmatrix} 1&1&0\\0&0&1\\1&0&0 \end{bmatrix} \]

所以

\[ \begin{bmatrix} fib_{3}&fib_{2}&fib_{1} \end{bmatrix} \times A^{n-3}= \begin{bmatrix} fib_{n}&fib_{n-1}&fib_{n-2} \end{bmatrix} \]

的第一个元素即为所求。

例题 \(3\)：

题目是我自己口胡的

求数列
\(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}+1,f_{1}=f_{2}=1\)的第 \(n\) 项

其中\(1\leq n \leq 2e^{9}\)

取模，所以不用考虑高精

模仿先前两个样例

先定义一个 \(1\times 3\) 的矩阵

\[ \begin{bmatrix} fib_{n-2}&fib_{n-1 }&1 \end{bmatrix} \]

显然，通过递推式，我们要得到一个 \(1\times 3\) 的矩阵

\[ \begin{bmatrix} f_{n-1}&f_{n}&1 \end{bmatrix} \]

然后，因为 \(f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}+1\)，所以转换为

\[ \begin{bmatrix} f_{n-1}&f_{n-1}+f_{n-2}+1&1 \end{bmatrix} \]

于是就很容易构造出这个矩阵 \(A\)。

\[ A= \begin{bmatrix} 0&1&0\\1&1&0\\0&1&1 \end{bmatrix} \]

所以

\[ \begin{bmatrix} fib_{1}&fib_{2}&1 \end{bmatrix} \times A^{n-1}= \begin{bmatrix} fib_{n}&fib_{n+1}&1 \end{bmatrix} \]

的第一个元素即为所求。

例题4：

也是一道口胡的题

在例题1的基础上，再加

\[ s_{n}=\sum_{i=1}^nfib_{i} \]

求 \(s_{n}\)，其中 \(1\leq n\leq 2e^{9}\)

取模，所以不用考虑高精

自己去推吧qwq

最后答案是

\[ \begin{bmatrix} fib_{1}&fib_{2}&s_{1} \end{bmatrix} \times A^{n-1}= \begin{bmatrix} fib_{n}&fib_{n+1}&s_{n} \end{bmatrix} \]

然后

\[ A= \begin{bmatrix} 0 &1& 0\\ 1 &1& 1\\ 0 &0 &1 \end{bmatrix} \]

最后，给出个结论，如果有 \(f_n=p\times f_{n-1}+q\times f_{n-2}+r\times n+s\)，那么

\[A= \begin{bmatrix} 0& q &0& 0 &0\\ 1 & p &1 & 0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &0\\ 0 &r & 0& 1 & 0\\ 0 &s& 0 &1& 1\\ \end{bmatrix} \]

补充：然后就能水道题了