CodeForces 1367F2 Flying Sort (Hard Version)
题意
给一个长度为\(n\)的数组,你可以有两种操作
- 将某一个数放置在数组开头
- 将某一个数放置在数组结尾
问最小操作多少次可以得到一个非递减数列
(比\(F1\)难在\(n\)变大,且数组中元素可以有相同的)
分析
因为数组中的数很大,我们可以将其离散化然后操作,则\(a[i]\)为连续的整数,设\(tot\)种不同的数,则\(1\leq a[i] \leq tot\)
每个数最多操作一次,否则第一次可以不操作,那么我们就要找最多的不需要操作的数,如果不需要操作,则元素的位置不变,如果有这么一组不需要操作的数,我们可以发现,中间的数字是不能插进去的,所以这组数是在排序后仍相邻的数,则要找到最长的子序列,这个子序列在排序后仍然相邻,考虑以下几种情况
- 这组数相同,则没有限制
- 这组数中含有两种数,则要形如\(i,i,i,i+1,i+1\)这种形式,即排序后仍相邻
- 这组数含有三种以上的数,即形如\(i,i,i+1,i+2,i+2,i+3\)这种形式,那么中间的数(\(i+1\),\(i+2\))一定是被取完了,否则其他的\(i+1\)或者\(i+2\)要插进去只能重新排序,与中间数字不能插进去不符,即这几个数并不是相邻,例如\(i,i+1,i+2,i+1\)这种序列,\(i,i+1,i+2\)并不满足条件,因为\(i+1\)并没取完
设\(dp[i][0]\)为只取相同的数且以\(a[i]\)为结尾所得到的最长子序列,\(dp[i][1]\)为\(a[i]\)还没取完且所得到的以\(a[i]\)为结尾最长子序列,\(dp[i][2]\)为\(a[i]\)取完且以\(a[i]\)为结尾所得到的最长子序列,我们用\(pos[i]\)表示数字\(i\)上次出现的位置,因为离散化了,所以数组可以满足,状态转移方程为(\(r[a[i]]\)表示\(a[i]\)最后出现的位置,\(l[a[i]]\)表示\(a[i]\)最早出现的位置,\(num[a[i]]\)表示\(a[i]\)的个数,\(pos[a[i]]\)表示上一个\(a[i]\)出现的位置):
dp[i][0] = dp[pos[a[i]]][0] + 1;
dp[i][1] = max(dp[pos[a[i]]][1] + 1, max(dp[pos[a[i] - 1]][0] + 1, dp[pos[a[i] - 1]][2] + 1));
if (i == r[a[i]])
dp[i][2] = dp[l[a[i]]][1] + num[a[i]] - 1;
- \(dp[i][0]\),方程表示上一个位置的\(a[i]\)接着取
- \(dp[i][1]\),方程表示上一个\(a[i]\)接着取,或者上一个\(a[i]-1\)接着取,或者\(a[i]-1\)已经全部取完后接着取
- \(dp[i][2]\),方程表示从最早出现的\(a[i]\)开始,后面都只取\(a[i]\)
#pragma GCC optimize(3, "Ofast", "inline")
#include <bits/stdc++.h>
#define start ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define ll long long
#define int ll
#define ls st<<1
#define rs st<<1|1
#define pii pair<int,int>
#define rep(z, x, y) for(int z=x;z<=y;++z)
#define com bool operator<(const node &b)
using namespace std;
mt19937 rnd(chrono::high_resolution_clock::now().time_since_epoch().count());
const int maxn = (ll) 2e5 + 5;
const int mod = 998244353;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int T = 1;
int a[maxn], b[maxn];
int dp[maxn][3];
int l[maxn], r[maxn];
int pos[maxn], num[maxn];
void solve() {
int n;
cin >> n;
rep(i, 1, n)cin >> a[i], b[i] = a[i], dp[i][0] = dp[i][1] = dp[i][2] = 0, l[i] = r[i] = 0, num[i] = 0;
sort(b + 1, b + n + 1);
int tot = unique(b + 1, b + n + 1) - (b + 1);
rep(i, 1, n) {
a[i] = lower_bound(b + 1, b + tot + 1, a[i]) - b;
r[a[i]] = i;
if (!l[a[i]])
l[a[i]] = i, pos[a[i]] = i;
++num[a[i]];
}
int maxx = 1;
rep(i, 1, n) {
dp[i][0] = dp[pos[a[i]]][0] + 1;
dp[i][1] = max(dp[pos[a[i]]][1] + 1, max(dp[pos[a[i] - 1]][0] + 1, dp[pos[a[i] - 1]][2] + 1));
if (i == r[a[i]])
dp[i][2] = dp[l[a[i]]][1] + num[a[i]] - 1;
pos[a[i]] = i;
rep(j, 0, 2)maxx = max(maxx, dp[i][j]);
}
cout << n - maxx << '\n';
}
signed main() {
start;
cin >> T;
while (T--)
solve();
return 0;
}