Jzoj3169 生产汽车

如前面提到，ABC的汽车工厂有N个工人，他们在一个传送带上生产汽车，工人从左到右排列，编号依次为1到N，采用流水线模式，每个人负责自己的一部分工作。

生产一台汽车需要从1号工人开始，当1号完成他的工作后，2号就会开始工作，然后是3号，最后当N号工人完成他的工作后，整个汽车生产完毕。工人们一共需要生产M台汽车，而且必须按照从1到M的顺序去生产。

对于工人i，他完成自己的工作需要Ti的时间，而对于汽车j，组装复杂度为Fj。那么工人i花在汽车j上的时间为Ti*Fj。

当某个工人完成他的工作后，他会同时把汽车交给下一个工人，没有任何时间上的延迟，因此，要保证下一个要接受汽车的工人必须是空闲的。为了满足这个要求，ABC需要为每一台汽车选择一个好时机开始制造。

ABC想知道生产完所有汽车最少需要多少时间。

先来考虑O(n^2)的情况

我们令g[i]表示第i辆汽车开始生产的时间，g[1]=0

那么g[i]=g[i-1]+max(f[i-1]*sum[j]+f[i]*sum[j-1]) 其中sum[j]=Σt[k] (1<=k<=j)

这里表示每一个人都必须在它生产完i-1这辆车之后才能继续第i辆，看到这个式子我们可以考虑斜率优化

对于决策j,k若k优于j那么就有

f[i-1]*s[j]+f[i]*s[j-1]<f[i-1]*s[k]+f[i]*s[k-1]

f[i-1]*(s[j]-s[k])<f[i]*(s[j-1]-s[k-1])

f[i-1]/f[i]<(s[j-1]-s[k-1])/(s[j]-s[k])

因为f[i-1]/f[i]不单调，所以我们维护一个斜率单调递减的上凸壳，让后在上面二分

#pragma GCC opitmize("O3")
#pragma G++ opitmize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
int n,m,q[N],t=0;
long long f[N],s[N],g[N];
inline double slp(int i,int j){ 
	return (s[i]-s[j])/(double)(s[i-1]-s[j-1]);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%lld",s+i),s[i]+=s[i-1];
	for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%lld",f+i);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(;t>1&&slp(i,q[t])>slp(q[t],q[t-1]);--t);
		q[++t]=i;
	}
	g[1]=0;
	for(int i=2,l,r,M;i<=m;++i){
		l=0; r=t; 
		for(double k=f[i]/(double)f[i-1];l<r;){
			M=l+r>>1;
			if(slp(q[M+1],q[M])>k) l=M+1; else r=M;
		}
		g[i]=g[i-1]+s[q[l]]*f[i-1]-s[q[l]-1]*f[i];
	}
	printf("%lld\n",1ll*g[m]+s[n]*f[m]);
}