Jzoj2581 最大公约数
题意:求ΣΣgcd(i,j)(i∈[1,n],j∈[i,n])
我们令A[i]为Σgcd(i,j)(j∈[1,i])
那么很显然的,gcd(i,j)为i的因数,而当gcd(i,j)=1时,这样的j显然就有φ(i)个
当gcd(i,j)=2时,这样的j就有φ(i/2)个(j=2k,(i/2,k)=1)
而当gcd(i,j)=3时……
所以我们发现,A[i]=Σx/d*phi(d)(d|x)
但是暴力计算是nsqrt(n)的,太慢了
所以我们可以采用类似素数筛法的方法,枚举d,每次将A[kd]+=k*phi(d),这样是O(n ln n)的
#include<stdio.h> bool vis[1000010]; int c,w[500000],phi[1000010],A[1000010]={0}; long long S[1000010]={0}; int main(){ for(int i=2;i<=1000010;++i){ if(!vis[i]) phi[w[c++]=i]=i-1; for(int j=0;j<c&&i*w[j]<=1000010;++j){ vis[i*w[j]]=1; if(i%w[j]) phi[i*w[j]]=phi[i]*(w[j]-1); else { phi[i*w[j]]=phi[i]*w[j]; break; } } } for(int i=2;i<=1000010;++i){ for(int j=i,k=1;j<=1000010;j+=i,++k) A[j]+=k*phi[i]; S[i]=S[i-1]+A[i]; } int n,t; scanf("%d",&t); for(;t--;printf("%lld\n",S[n])) scanf("%d",&n); }
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