Jzoj2581 最大公约数

题意：求ΣΣgcd(i,j)(i∈[1,n],j∈[i,n])

我们令A[i]为Σgcd(i,j)(j∈[1,i])

那么很显然的，gcd(i,j)为i的因数，而当gcd(i,j)=1时，这样的j显然就有φ(i)个

当gcd(i,j)=2时，这样的j就有φ(i/2)个（j=2k,(i/2,k)=1）

而当gcd(i,j)=3时……

所以我们发现，A[i]=Σx/d*phi(d)(d|x)

但是暴力计算是nsqrt(n)的，太慢了

所以我们可以采用类似素数筛法的方法，枚举d，每次将A[kd]+=k*phi(d)，这样是O(n ln n)的

#include<stdio.h>
bool vis[1000010];
int c,w[500000],phi[1000010],A[1000010]={0};
long long S[1000010]={0};
int main(){
	for(int i=2;i<=1000010;++i){
		if(!vis[i]) phi[w[c++]=i]=i-1;
		for(int j=0;j<c&&i*w[j]<=1000010;++j){
			vis[i*w[j]]=1;
			if(i%w[j]) phi[i*w[j]]=phi[i]*(w[j]-1);
				else { phi[i*w[j]]=phi[i]*w[j]; break; }
		}
	}
	for(int i=2;i<=1000010;++i){
		for(int j=i,k=1;j<=1000010;j+=i,++k)
			A[j]+=k*phi[i];
		S[i]=S[i-1]+A[i];
	}
	int n,t; scanf("%d",&t);
	for(;t--;printf("%lld\n",S[n])) scanf("%d",&n);	
}