如何在多项式时间内解决最大团问题

如何在多项式时间内解决最大团问题

本篇文章将会教你如何随机化硬草 NP-Hard。

Solution A

最大团问题有一个非常直观、简洁、但是错误的贪心做法：每次贪心地往当前最大团内加点，能加就加，否则就无视。这种做法显然有可能找到最优解，但是显然更多情况下会错得离谱。

首先，我们需要尽可能避免加入的第一个点就不在最大团里的情况。方法是枚举一个必须在最大团里的点 \(u\)，那么最大团里的其它点必须与 \(u\) 相邻，所以总共的枚举量是 \(O(\sum_u\operatorname{deg}(u))=O(m)\)。然后还需要判断加入一个新点后答案是否仍然为团，这里需要枚举当前团内的所有点。注意到最大团的点数不会超过 \(O(\sqrt m)\)，所以总复杂度是 \(O(n+m\sqrt m)\)。

但是这样仍然不太靠谱，因此我们设定一个求解次数 \(T\)，将上述算法进行 \(T\) 次，但是每次都把点的出边顺序随机打乱，以此增加找到答案的概率。时间复杂度变成了 \(O(T(n+m\sqrt m))\)。在实践中，取 \(T=10\) 已经可以有相当的正确率，但更为精彩的是，我们曾经创下了 \(T=1\) 的 AC 纪录。

概率分析：不会。

Solution B

下面的这种做法同样依赖于那个朴素的贪心和多次随机加点顺序，但是有更优秀的单次复杂度，却需要更多的随机次数，实测不如 Solution A 优秀。

发现在动态加点的过程中，如果一个点无法加入当前答案就放弃掉，会浪费掉大量的点。所以我们进行一种类似“多线程”的操作方式：同时维护多个备选答案。我们可以维护多个当前存在的最大团，新加入一个点 \(u\) 时，只会尝试加入最多 \(\operatorname{deg}(u)\) 个原本的答案。如果 \(u\) 向当前某个团 \(G\) 的连边数量等于团的大小 \(|G|\)，就把 \(u\) 加入。可以用一个并查集维护这个过程，复杂度 \(O(T(n+m\alpha(n)))\)，其中 \(T\) 是随机次数。

该做法有一个很不稳定的优化：每次尝试把 \(u\) 加入可以加入的大小最大的团。经过实验，这种优化有时候可以很快速地找到答案，但是在一些经过构造的数据中却用很多次随机都很难跑出答案，慎用。

概率分析：不会。