数学杂项学习笔记
数学杂项学习笔记
这个 nt 在一次次模拟赛中终于发现了一个显然的事实：他对数学一窍不通。
为了防止学完就忘，于是就有了这个。
这里面的知识点是乱序的，因此会存在其间相互有联系。
Part 1：数论
整除分块
用途，求形似于 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n f(i)g\left(\left\lfloor\tfrac{n}{i}\right \rfloor\right)\) 的和式，要求 \(g(x)\)、\(\displaystyle\sum_{i=l}^r f(i)\) 可以快速计算。
数论分块的主要操作是将所有 \(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\) 相同的求和项打包计算，容易发现，这些相同的 \(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\) 对应的 \(i\) 是一段连续的区间，一般可以通过预处理来求出此时 \(f\) 的和。
\(\text{Lemma 1}\)
Proof:
若 \(d\le \sqrt n\)，显然 \(\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor\) 只可能有 \(\sqrt n\) 种取值；
否则，有 \(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\le \sqrt n\)，也只可能有 \(\sqrt n\) 种取值；
综上所述，引理得证。
整除分块结论
根据 \(\text{Lemma 1}\)，使用整除分块的复杂度是 \(O(\sqrt n)\) 的。那么对于一个左端点 \(l\)，它对应的右端点 \(r\) 是什么呢？
首先根据定义，有 \(\left\lfloor\dfrac{n}{l}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{n}{r}\right\rfloor\)。我们又知道，这个函数是关于 \(r\) 单调不增的，所以我们就是要求 \(\max\left\{r\ \Big|\ \left\lfloor\dfrac{n}{r}\right\rfloor\ge\left\lfloor\dfrac{n}{l}\right\rfloor\right\}\)
于是我们转化一下，得到 \(\dfrac{n}{r}\ge\left\lfloor\dfrac{n}{l}\right\rfloor\)，也就是说 \(r\le\left\lfloor\dfrac{n}{\left\lfloor\frac{n}{l}\right\rfloor}\right\rfloor\)
代码实现时直接一个个跳区间即可。
多元整除分块
即式子是 \(\displaystyle\sum_i f(i)\prod_{j=1}^k g_j\left(\left\lfloor\tfrac{n_j}{i}\right\rfloor\right)\) 的形式。在每次跳右端点的时候选择 \(r=\min\left(\left\lfloor\dfrac{n}{\left\lfloor\frac{n}{l}\right\rfloor}\right\rfloor\right)\) 就可以了。容易证明 \(k\) 元的整除分块复杂度是 \(O(k\sqrt n)\) 的。
\(\text{Example 1}\)
求 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n \left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\)，\(n\le 10^{14}\)。
for(int l=1,r=0;l<=n;l=r+1)
r=n/(n/l),ans+=1ll*(r-l+1)*(n/l);
\(\text{Example 2}\)
求 \(\displaystyle\sum_{x=1}^a\sum_{y=1}^b[\gcd(x,y)=d]\)，多组询问，\(T\le 5\times 10^4,\ d,a,b\le 5\times 10^4\)。
使用莫比乌斯反演后，式子变为 \(\displaystyle\sum_d\mu(d)\sum_{x=1}^{\lfloor a/d\rfloor}\sum_{y=1}^{\lfloor b/d\rfloor}1\)，整除分块即可。
lim=min(n/=d,m/=d),ans=0;
for(int l=1,r=0;l<=lim;l=r+1)
r=min(n/(n/l),m/(m/l)),ans+=1ll*(sum[r]-sum[l-1])*(n/l)*(m/l);
积性函数与线性筛
积性函数
对于一个数论函数 \(f(n)\)，如果其满足 \(\forall a\perp b,\ f(ab)=f(a)f(b)\)，则称其为积性函数，特别地，如果对于 \(\forall a,b\in\mathbb{N^*}, f(ab)=f(a)f(b)\)，则称其为完全积性函数。
设 \(f(n),g(n)\) 为两个积性函数，则以下函数都是积性函数：
以下是一些常见的积性函数：
- 单位函数 \(\varepsilon(n)=[n=1]\)；
- 幂函数 \(\operatorname{Id}_k(n)=n^k\)；
- 常数函数 \(1(n)=1\)（完全积性）；
- 除数函数 \(\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k\)；
- 欧拉函数 \(\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[i\perp n]\)；
- 莫比乌斯函数 \(\mu(n)\)。
线性筛
线性筛可以在 \(O(n)\) 时间内筛出 \([1,n]\) 中所有质数。线性筛也可以求解绝大部分积性函数，能够在筛质数同时求出对于 \(i\in[1,n]\) 的所有 \(f(i)\)。以下是朴素线性筛的代码：
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(!vis[i]) prm.push_back(i);
for(auto &j: prm)
{
if(i*j>N) break;
vis[i*j]=true;
if(i%j==0) break;
}
}
在 i%j==0 处退出保证了每个数只会被一个质数筛一次，故复杂度是 \(O(n)\) 的。这也使线性筛满足这些性质：一个数被筛时的质数是其最小的质因子；一个数 \(x\) 筛别的数时 \(p|x\) 时的 \(p\) 是 \(x\) 的最小质因子。
线性筛求解积性函数主要从以下几个方面考虑：
- \(x\in\mathbb{P}\)，通常是平凡的；
- \(p\nmid x\)，利用积性函数的性质，\(f(px)\gets f(x)f(p)\)；
- \(p\mid x\)，需要重点考虑的地方。
解决第三种情况的基本套路是：先考虑 \(f(p^k)\)，然后把 \(x\) 拆成 \(a\cdot p^k\)，使得 \(a\perp p\)，然后，构建 \(f(a\cdot p^{k+1})\) 与 \(f(a\cdot p^k)\) 的关系，然后消去 \(a\)，最后得到容易处理的 \(f(px)\) 和 \(f(x)\) 的关系 。
下面通过两个例子来说明这种方法：
\(\text{Example 1}\)
用线性筛求解欧拉函数 \(\displaystyle\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[i\perp n]\)。
设 \(p\in\mathbb{P}\)，则有 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)。假设我们现在要由 \(\varphi(n)\) 求出 \(\varphi(np),\ (p\mid n)\)，先令 \(n=a\cdot p^k,\ (a\perp p)\)。
由欧拉函数积性知
上下两式相除得
于是可以求解。
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(!vis[i]) prm.push_back(i),phi[i]=i-1;
for(auto &j: prm)
{
if(i*j>N) break;
vis[i*j]=true;
if(i%j==0) { phi[i*j]=phi[i]*j;break; }
phi[i*j]=phi[i]*(j-1);
}
}
\(\text{Example 2}\)
用线性筛求解除数函数 \(\displaystyle\sigma_m(n)=\sum_{d|n}d^m\)
考虑 \(p\in\mathbb{P}\)，有 \(\displaystyle\sigma_m(p^k)=\sum_{i=0}^n p^{im}=\sigma_m(p^{k-1})+p^{km}\)
按照老套路，令 \(n=a\cdot p^k\)，使得 \(a\perp p\)。则有；
先上式减去下式得：
看上去没有什么东西，但是我们知道 \(k\ge 1\)，所以可以以 \(k-1\) 代换 \(k\)，并和上式联立得：
这个形式就很好了，两式相除消去 \(\sigma_m(a)\) 得到：
然后就可以线性筛。 因为要求 \(p^m\)，所以时间复杂度是 \(O(\frac{n\log m}{\ln n})\) 的。
当 \(m=0\) 时，该函数就是常见的因数个数函数 \(\operatorname{d}(n)\)，有 \(\operatorname{d}(np)=2\operatorname{d}(n)-\operatorname{d}\left(\frac{n}{p}\right)\) 。
莫比乌斯反演
莫比乌斯函数
莫比乌斯函数 \(\mu(n)\) 定义：
显然，\(\mu(n)\) 是积性函数，可以使用线性筛求解。
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(vis[i]) prm.push_back(i),mu[i]=-1;
for(auto &j: prm)
{
if(i*j>N) break;
vis[i*j]=true;
if(i%j==0) { mu[i*j]=0;break; }
mu[i*j]=-mu[i];
}
}
\(\text{Lemma 1}\)
Proof:
令 \(\displaystyle n=\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i},\ n'=\prod_{i=1}^k p_i,\ (p_i\in\mathbb{P})\)
因为当 \(d\) 的某个质因数次数超过 \(1\) 时，\(\mu(d)=0\)，所以我们有 \(\displaystyle\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{d|n'}\mu(d)\)
先考虑 \(k\neq 0\) 的情况。将循环条件改为枚举 \(d\) 含有的质因数个数得：
\[\sum_{d|n'}\mu(d)=\sum_{i=1}^k{k\choose i}(-1)^i=(1+(-1))^k=0 \]而当 \(k=0\) 时，容易得到原式为 \(1\)。
综上，当且仅当 \(n=1\) 时，\(\displaystyle\sum_{d|n}\mu(d)=1\)，其它情况都是 \(0\)，引理得证。
我们经常会使用这个结论的一个特例：\(\displaystyle[\gcd(a,b)=1]=\sum_{d|\gcd(a,b)}\mu(d)\)
狄利克雷卷积
对于数论函数 \(f(n),\ g(n)\)，定义其狄利克雷卷积为 \(\displaystyle(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)\)。
狄利克雷卷积满足交换律、结合律、分配律，且有 \(\varepsilon*f=f\)，即单位函数 \(\varepsilon(n)\) 是狄利克雷卷积的单位元。
同时狄利克雷卷积还有一个性质，就是两个积性函数的狄利克雷卷积仍然是积性函数。
使用狄利克雷卷积可以得到一些数论函数的定义/性质，如：
- \(\sigma_k=1*\operatorname{Id}_k\)；
- \(\operatorname{Id}=1*\varphi\)；
- \(\operatorname{d}=1*1\)；
- \(\varepsilon=1*\mu\)（就是 \(\text{Lemma 1}\) 的另一种形式）。
对于数论函数 \(f(n)\)，如果有数论函数 \(g(n)\) 满足 \(f*g=\varepsilon\)，我们称 \(g\) 为 \(f\) 的狄利克雷逆，记作 \(f^{-1}\)。
狄利克雷逆的定义如下：
狄利克雷逆满足，对于所有积性函数都存在狄利克雷逆，且其逆也是积性函数。
莫比乌斯反演
证明如下：
或者利用狄利克雷卷积这样证明：
\(\text{Example 1}\)
求 \(\displaystyle\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^m[\gcd(x,y)\in\mathbb{P}]\)，多组询问，\(T\le 10^4,\ n,m\le10^7\)。
令 \(p\in\mathbb{P}\)，将原式变形：
对于 \(pd\) 整除分块。因为质数个数是 \(O\left(\dfrac{n}{\ln n}\right)\) 的，而枚举倍数又是 \(O(\ln n)\) 的，所以 \(pd\) 个数是 \(O(n)\) 的。预处理一下 \(\displaystyle f(n)=\sum_{p\in\mathbb{P},p|n} \mu\left(\frac{n}{p}\right)\) 的前缀和即可。
\(\text{Example 2}\)
多次询问求 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n \operatorname{lcm}(i,n)\)，\(T\le 3\times 10^5,\ n\le 10^6\)。
好像和莫反没什么关系但是确实是个好题先把 \(\operatorname{lcm}\) 换成 \(\gcd\)：
接下来进行一些炫目魔术，把整个和式复制一遍，然后反转加在一起：
我们设 \(f(n)=\displaystyle\sum_{d|n}\varphi(d)d\)，重点就在于求出 \(f(n)\)，然后就可以 \(O(1)\) 回答询问。
观察一下可以发现，\(f(n)\) 是一个积性函数，这就意味着可以使用线性筛求解。线性筛过程中 \(n\in\mathbb{P}\) 和 \(p\nmid n\) 的情况很好处理，重点解决 \(p\mid n\) 的情况。
设 \(p\in\mathbb{P}\)，则有 \(\displaystyle f(p^k)=\sum_{i=1}^k \varphi(p^i)p^i=\sum_{i=1}^k p^{2i-1}(p-1)=f(p^{k-1})+p^{2k-1}(p-1)\)
利用这个东西，我们可以对于一个 \(n\)，求出 \(f(np)\)，我们先令 \(n=a\cdot p^k\) 且 \(\gcd(a,p)=1\)：
右边两式相除就得到 \(f(np)=f(n)+\left(f(n)-f\left(\frac{n}{p}\right)\right)p^2\)，可以线性筛。
杜教筛
杜教筛可以在低于线性的时间复杂度下求出某个积性函数 \(f(n)\) 的前缀和 \(\displaystyle S(n)=\sum_{i=1}^n f(i)\)。其核心思想是构造一个 \(S(n)\) 与 \(S\left(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\right)\) 的关系式，以便使用整除分块。
\(\text{Lemma 1}\)
Proof:
\[\begin{aligned} \text{LHS}&=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{\left\lfloor n/i\right\rfloor} g(i)f(j)\\ &=\sum_{i=1}^n g(i)\sum_{j=1}^{\left\lfloor n/i\right\rfloor}f(j)=\text{RHS} \end{aligned} \]于是我们有 \(\displaystyle g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n (f*g)(i)-\sum_{i=2}^n g(i)S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right)\)。杜教筛就是要构造一个合适的 \(g\)，使得该式左半边可以方便求出，而右半边可以用整除分块+递归处理。下面用几个例子进行说明。
\(\text{Example 1}\)
求解 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n \mu(i),\ \sum_{i=1}^n\varphi(i),\ n\le 10^{12}\)。
- 我们知道 \(\mu*1=\varepsilon\)，所以我们有 \(\displaystyle S(n)=\sum_{i=1}^n\varepsilon(i)-\sum_{i=2}^n S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right)=1-\sum_{i=2}^n S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right)\)。整除分块再递归计算即可。
- 我们知道 \(\varphi*1=\operatorname{Id}\)，所以我们有 \(\displaystyle S(n)=\sum_{i=1}^n\operatorname{Id}(i)-\sum_{i=2}^n S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right)=\frac{n(n-1)}{2}-\sum_{i=2}^n S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right)\)。整除分块再递归计算即可。
这两个解法的文本几乎完全是复制的
\(\text{Example 2}\)
求解 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\gcd(i,j),\ n\le 10^{10}\)。
令 \(\displaystyle T=dk,\ F(n):=\sum_{i=1}^n i\)，则有：
现在关键在于求出 \(T^2\varphi(T)\) 的前缀和。因为 \(n\) 的范围比较大，所以需要杜教筛。我们设这个函数是 \(g(n)\)，并给它卷上一个 \(\operatorname{Id_2}\)：
形式很好，套上杜教筛的式子就有：
利用平方和公式以及立方和公式，就很好求了。
Powerful Numbers 筛（PN 筛）
Powerful Numbers 是指所有质因子的次数都 \(\ge 2\) 的正整数。
\(\text{Lemma 1}\)
\(\le n\) 的 Powerful Numbers 数量是 \(O(\sqrt n)\) 的。
Proof:
Powerful Numbers 可以写成 \(a^2 b^3\) 的形式，于是可以枚举 \(a\)，计算满足条件的 \(b\) 的数量。这样枚举得到的数量肯定不小于真实数量。
\[\begin{aligned} \sum_{a=1}^{\sqrt{n}} \left\lfloor\sqrt[3]{\frac{n}{a^2}}\right\rfloor&\approx\int_1^{\sqrt{n}} \sqrt[3]{\frac{n}{x^2}}\mathrm{d}x \\ &=\left.\left(3\sqrt[3]{nx}\right)\right|_1^{\sqrt{n}} \\ &=O(\sqrt{n}) \end{aligned} \]枚举 Powerful Numbers 可以直接 DFS。
PN 筛可以求出一类积性函数 \(f(n)\) 的前缀和，当满足：
且，\(g(n)\) 是容易求前缀和的。
那么，设 \(h:=f*g^{-1}\)，则有 \(\forall\,p\in\mathbb{P}:f(p)=h(p)g(1)+h(1)g(p)=h(p)+g(p)\)。又因为 \(g(p)=f(p)\)，所以有 \(h(p)=0\)。
因为 \(h(n)\) 也是积性函数，所以含有一次质因子的位置值均为 \(0\)，也就是说，\(h(n)\) 只在 Powerful Numbers 处有值。
设 \(\displaystyle S_f(n):=\sum_{i=1}^n f(n),\ S_g(n)=\sum_{i=1}^n g(n)\)，由 \(f=g*h\) 可得：
于是可以枚举 Powerful Numbers \(d\) 直接计算即可。
计算 \(h(d)\) 只需要计算 \(h(p^c)\ (p\in\mathbb{P})\)。计算 \(h(p)\) 可以推导处简洁形式，也可以根据 \(h\) 的定义求：
递推即可。
\(\text{Exmaple 1}\)
求积性函数 \(f(n)\) 的前缀和，\(n\le 10^{13}\)。\(f(n)\) 定义为：
其中 \(n\) 的质因数分解为 \(\displaystyle n=\prod p_i^{\alpha_i}\)。
发现 \(f(p)=p+1=\sigma(p)\)，于是设 \(g(n)=\sigma(n)\)，套 Powerful Numbers。
问题只剩下求 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n g(i)\)。稍微变化一下即可得到 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n g(i)=\sum_{i=1}^n i\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\)，整除分块即可。
因为有一个整除分块，所以要把复杂度证一下：
类欧几里得算法
基础类欧
类欧几里得算法可以在 \(O(\log n)\) 时间内求出 \(\displaystyle f(n,a,b,c)=\sum_{i=0}^n\left\lfloor\frac{ai+b}{c}\right\rfloor\) 的单点值。
对于 \(a\ge c\) 或 \(b\ge c\)，我们将 \(a,b\) 对 \(c\) 取模简化问题。
于是可以递归求解。考虑 \(a<c,\ b<c\) 的情况即可。
然后转化一下限制条件：
令 \(m=\left\lfloor\dfrac{an+b}{c}\right\rfloor\) 于是原式就可以化为：
递归求解即可。递归的终止条件是 \(f(n,0,b,c)=(n+1)\left\lfloor\dfrac{b}{c}\right\rfloor\)。可以发现，这个递归的形式和欧几里得辗转相除法很相似，这就是它为什么被称为“类”欧几里得算法。因为每一次递归 \(a,c\) 都会取模再交换，所以该算法时间复杂度是 \(O(\log n)\)。
代码实现非常简洁：
typedef long long LL;
LL floorsum(LL n,LL a,LL b,LL c)
{
LL ac=a/c,bc=b/c,m=(a*n+b)/c;
if(a==0)
return (n+1)*bc;
if(a>=c || b>=c)
return ac*(n*(n+1)/2)+bc*(n+1)+floorsum(n,a%c,b%c,c);
else
return n*m-floorsum(m-1,c,c-b-1,a);
}
万能欧几里得
咕。
二次剩余（Cipolla 算法）
对于 \(a\)，若存在 \(x^2\equiv a\pmod p\)，则 \(a\) 是模 \(p\) 意义下的二次剩余，反之则称 \(a\) 是模 \(p\) 意义下的非二次剩余。Cipolla 算法可以对于奇素数 \(p\) 和 \(a\)，求上述方程的解。
\(\text{Lemma 1}\)
对于 \(a,p\) 定义勒让德符号：
则对于奇素数 \(p\)，有欧拉判别准则：
proof:
\(a=0\) 时结论显然成立。否则，取 \(p\) 的一个原根 \(g\)。
若 \(a\) 是二次剩余：则有 \(a=g^{2k}\ (k\in\mathbb{N})\)，于是 \(a^{\frac{p-1}{2}}=g^{k(p-1)}=(g^{p-1})^k\equiv 1\pmod p\) 。
若 \(a\) 是非二次剩余：则有 \(a=g^{2k+1}\ (k\in\mathbb{N})\)，于是 \(a^{\frac{p-1}{2}}=g^{k(p-1)+\frac{p-1}{2}}=g^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\pmod p\)。
于是结论证毕。
算法流程
我们要解方程 \(x^2\equiv a\pmod p\)。
找到一个 \(b\) 使得 \(b^2-a\) 是非二次剩余。因为在模奇素数意义下二次剩余和非二次剩余数量相等（根据原根相关理论显然），所以随机选择 \(b\) 期望可以 \(2\) 次找到。
设 \(i\) 为一个虚数单位满足 \(i^2=b^2-a\)，那么 \(x=(b+i)^{\frac{p+1}{2}}\pmod p\) 则为原方程的解。
证明分两步：
-
证明 \(x^2\equiv a\pmod p\)：
\[\begin{aligned} x^2&\equiv (b+i)^{p+1} \\ &\equiv (b+i)\cdot(b+i)^p \\ &\equiv (b+i)\sum_{k=0}^p \binom{p}{k}b^k i^{p-k} \\ &\equiv (b+i)\cdot (b^p+i^p) \\ \end{aligned} \]然后因为 \(b^p\equiv b^{p-1}\cdot b\equiv b,\ i^p\equiv i^{p-1}\cdot i\equiv (b^2-n)^{\frac{p-1}{2}}\cdot i\equiv-i\)，有：
\[x^2\equiv (b+i)(b-i)\equiv b^2-i^2\equiv b^2-(b^2-a)\equiv a \] -
证明 \(x\) 的虚部为 \(0\)：
反证法，若存在 \((u+vi)^2\equiv n\ (v\neq 0)\)，即 \(u^2+v^2(b^2-a)+2uvi\equiv n\)。
对比左右虚部可得 \(2uv\equiv 0\)，根据假设可得 \(u\equiv 0\)。
那么 \(v^2(b^2-a)\equiv n,\ b^2-a\equiv \dfrac{n}{b^2}\)。因为 \(n\) 是二次剩余，所以 \(\dfrac{n}{b^2}\) 也是二次剩余，这与 \(b^2-a\) 是非二次剩余矛盾。
至此，我们证明了 Cipolla 算法的正确性。该算法复杂度显然是 \(O(\log p)\) 的。
Part 2：线性代数
向量与矩阵
基础定义
一个 \(n\) 行 \(m\) 列的数表被称作 \(n\times m\) 的矩阵，记作 \(A=[a_{i,j}]\)
特别地，当 \(n=m\) 时，称作 \(n\) 阶方阵。
一个 \(1\times n\) 矩阵被称为行向量，类似地，一个 \(n\times 1\) 的矩阵被称作列向量。
矩阵加、减、数乘
设 \(A=[a_{i,j}],B=[b_{i,j}],C=[c_{i,j}]\)。
矩阵加/减的结果是每个元素相加/减，即 \(C=A+B\Leftrightarrow c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}\)。
矩阵数乘结果是每个元素乘上该标量，即 \(C=\lambda A\Leftrightarrow c_{i,j}=\lambda a_{i,j}\)
显然，矩阵加减满足交换律。
矩阵乘法
设 \(A=[a_{i,j}],B=[b_{i,j}],C=[c_{i,j}]\)，则有 \(\displaystyle C=A\times B\Leftrightarrow c_{i,j}=\sum_{k}a_{i,k}\cdot b_{k,j}\)。
当 \(A\) 列数等于 \(B\) 行数时才能相乘，得到的结果有 \(A\) 的行数与 \(B\) 的列数。
主对角线为 \(1\)，其余元素为 \(0\) 的 \(n\) 阶方阵称为 \(n\) 阶单位矩阵，记作 \(I_n\)。可以发现单位矩阵就是矩阵的幺元。
矩阵乘法不满足交换律，满足结合律，满足分配律。
矩阵转置
矩阵行列交换。记作 \(A^T\)。矩阵转置后行列式不变。
高斯消元
矩阵初等变换
- 交换两行；
- 一行乘上某个数；
- 一行加上另一行的 \(k\) 倍。
高斯消元
通过矩阵初等变换将矩阵变为上三角形式：\(\displaystyle\begin{bmatrix}1&\square&\cdots&\square\\0&1&\cdots&\square\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{bmatrix}\)。
方法：按顺序选取主元。处理第 \(i\) 个主元时，从 \([i,n]\) 行中选取第 \(j\) 列不为 \(0\) 的行交换到第 \(i\) 行。然后消去 \((i,n]\) 行中的第 \(i\) 个主元。然后把每一行的主元系数化为 \(1\)。最后形式如上所示。
高斯-约旦消元
类似于高斯消元，但是消元时会将 \([1,n]\backslash\{i\}\) 行的主元都消去，最后直接变为对角矩阵。
解线性方程组
线性方程组指的是有 \(n\) 个未知数，若干方程，每个方程都是关于未知数和常数的齐次式。
所以线性方程组可以表示为 \(A\times\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}\)，其中 \(\boldsymbol{x}\) 为表示未知数的向量，\(\boldsymbol{c}\) 为表示常数的向量。
将 \(\boldsymbol{c}\) 拼接在 \(A\) 后，构造出一个增广矩阵，发现对增广矩阵进行初等变换即为加减消元的过程。
所以可以高斯消元后对上三角矩阵回带，或者高斯-约旦消元一步到位。
线性空间
线性空间
在集合 \(V\) 上定义数乘、加法，使得加法满足交换律，数乘满足分配律，称 \(V\) 为线性空间。称 \(V\) 中元素为向量。
线性生成与基
取 \(S\subseteq V\)，取其中有限个向量 \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\dots,\boldsymbol{a}_n\) 和标量 \(k_1,k_2,\dots,k_n\)，则称 \(\sum k_i\boldsymbol{a}_i\) 为 \(S\) 的一个线性表示。
如果这组向量中任意一个向量不能被其它向量表示，称这组向量线性无关，否则称这组向量线性相关。
\(S\) 的所有线性表示组成的集合称为 \(S\) 的线性生成，记作 \(\operatorname{span}S\)，如果 \(\boldsymbol{b}\in\operatorname{span}S\)，则称 \(\boldsymbol{b}\) 能被 \(S\) 线性表示。
如果一个线性无关向量组能够生成 \(V\)，称这组向量为 \(V\) 的一组基。\(V\) 的所有基大小均相同，这个大小被称为 \(V\) 的维数，记作 \(\operatorname{dim}V\)。
对于 \(V\) 的一组基 \(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots\varepsilon_n\)，\(\boldsymbol{v}\in V\) 能被唯一表示为 \(\sum k_i\varepsilon_i\)，称列向量 \([k_1,k_2,\dots,k_n]^T\) 为 \(\boldsymbol{v}\) 的坐标。
如何求基
给定向量组 \(S\)，求 \(\operatorname{span} S\) 的一组基，可以使用高斯消元。
枚举每一个主元，选定一个向量，消去其它向量中的这个主元。最后得到的非零向量就是一组基。
特别地，每个整数可以看做每一个元都是 \(\mathbb{F}_2\) 上的元素的向量，求出来的基被称作线性基，可以用于解决异或相关问题。
线性映射
两个线性空间 \(V,W\) 上的一个映射 \(T:V\to W\) 是线性映射当且仅当满足 \(T(k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=T(k\boldsymbol{a})+T(\boldsymbol{b})\)。特别地，当 \(V=W\) 时 \(T\) 称作 \(V\) 上的线性变换。
矩阵可以用来描述线性映射/变换。取 \(V\) 中一组基 \(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n\)，\(W\) 中一组基 \(\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_m\)，如果有 \(T(\beta_j)=\sum a_{i,j}\gamma_i\)，则称矩阵 \([a_{i,j}]\) 为 \(T\) 在基 \(\beta,\gamma\) 下的矩阵，记作 \([T]_\beta^\gamma\)。特别地，若 \(\beta=\gamma\)，则可以记作 \([T]_\beta\)。可以理解为，\([T]_\beta^\gamma\) 是把 \(T(\beta_j)\) 的坐标放在第 \(j\) 列组成的矩阵。
那么可以得到线性映射 \(T(\boldsymbol{v})=[T]_\beta^\gamma\boldsymbol{v}\)，线性映射复合 \([ST]_\beta^\gamma=[S]_\beta^\gamma[T]_\beta^\gamma\)。
秩
向量组 \(S\) 的秩定义为 \(\operatorname{dim}\operatorname{span}S\)，记作 \(\operatorname{rank}S\)；线性变换 \(T\) 的秩定义为其矩阵的秩，记作 \(\operatorname{rank}T\)；矩阵 \(A\) 的秩定义为其列向量组的秩，记作 \(\operatorname{rank}A\)。
因为矩阵初等变换不会改变秩，所以可以用高斯消元求秩。高斯消元后非零行向量数就是秩。
行列式
行列式
对于一个 \(n\) 阶方阵 \(A=[a_{i,j}]\)，定义其行列式为 \(\displaystyle\sum_{p_1,p_2,\dots,p_n}(-1)^{\tau(p)}\prod_{i=1}^n a_{i,p_i}\)，记作 \(\det(A)\) 或 \(|A|\)。
行列式的几何意义为列向量/行向量围出的有向体积，或者说经过线性变换后有向体积变化倍率。
由此可以得到行列式的一些性质：\(\det(I_n)=1\)；两行/列交换，行列式取反；某行/列乘上一个数，行列式也乘上这个数；一行/列加上另一行/列的 \(k\) 倍，行列式不变。
所以可以用高斯消元求行列式，在进行初等变换时记录行列式的改变即可。
