【题解】CF718C Sasha and Array

原题链接

题意：维护一段序列，支持区间加和区间斐波那契数列和。

解题思路

显然这题的瓶颈就在于区间加，因为，一堆斐波那契数的下标同时加多少似乎并没有什么公式或者性质……

于是我开始了胡乱思考（

我们知道斐波那契数列的通项公式：

\[f_n=\frac{1}{\sqrt5}\left(\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right) \]

然后这里面下标都变成了指数，那么只用维护两三个量，区间加就变成了区间乘……手写一下无理数运算……貌似也可以做。。。

正解显然不是这样，但确实需要把区间加变成区间乘。有什么东西可以通过乘法方便地维护一个递推数列呢？

（好像真有人这么做，还跑得很快？）

使用矩阵

你肯定已经学过了矩阵乘法和矩阵快速幂。

想想你做过的第一道矩阵快速幂题：求 \(f_i\ (1\le i\le 10^{18})\)。

我们有：

\[\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_i\\f_{i-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_{i+1}\\f_i\end{bmatrix} \]

那么我们就可以用线段树在序列上每一个位置维护一个矩阵 \(A_i\)，假设原数列为 \(\{a_i\}\)，则

\[A_i=\begin{bmatrix}f_{a_i}\\f_{a_i-1}\end{bmatrix} \]

线段树合并区间时可以直接把两个矩阵相加。

区间修改的时候，由于矩阵乘法满足分配律，所以区间加的时候可以直接乘上 \(\displaystyle{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^x\)，\(x\)为需要加的数。

至于查询时就将包含的区间的矩阵中信息加起来就可以了。

实现细节见代码：

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD=1e9+7;
int n,m;
class Matrix22 //实现矩阵类
{
 private:
    LL a[2][2]; //矩阵用2*2的数组储存
 public:
    Matrix22(LL a00=0,LL a01=0,LL a10=0,LL a11=0) //构造函数
        { a[0][0]=a00,a[0][1]=a01,a[1][0]=a10,a[1][1]=a11; }
    inline LL &operator ()(int i,int j) //更加方便地获取元素
        { return a[i][j]; }
    //重载加法和乘法
    //因为矩阵大小是固定的所以没有使用for循环
    //而且这样常数还比较小（？）
    friend inline Matrix22 operator +(const Matrix22 &x,const Matrix22 &y)
    {
        return Matrix22((x.a[0][0]+y.a[0][0])%MOD,
                        (x.a[0][1]+y.a[0][1])%MOD,
                        (x.a[1][0]+y.a[1][0])%MOD,
                        (x.a[1][1]+y.a[1][1])%MOD);
        //对应项相加
    }
    friend inline Matrix22 operator *(const Matrix22 &x,const Matrix22 &y)
    {
        return Matrix22((x.a[0][0]*y.a[0][0]+x.a[0][1]*y.a[1][0])%MOD,
                        (x.a[0][0]*y.a[0][1]+x.a[0][1]*y.a[1][1])%MOD,
                        (x.a[1][0]*y.a[0][0]+x.a[1][1]*y.a[1][0])%MOD,
                        (x.a[1][0]*y.a[0][1]+x.a[1][1]*y.a[1][1])%MOD);
        //用矩阵乘法法则推一下就可以得到了
    }
}base,trans,a[100005];
template<typename T>
T quickPow(T a,LL b) //快速幂
 {
    T res=a;b--;
    while(b)
    {
        if(b&1)	res=res*a;
        a=a*a,b>>=1;
    }
    return res;
}
struct TreeNode //线段树节点，我用了指针写法
{
    Matrix22 val,tag;
    TreeNode *lc,*rc;
    TreeNode(): val(),tag(1,0,0,1) //tag需要初始化为单位矩阵 
        { lc=rc=nullptr; }
}*rt;
typedef TreeNode *pNode;
void build(int l,int r,pNode &i=rt) //建树
{
    i=new TreeNode;
    if(l==r)	i->val=a[l];
    else
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        build(l,mid,i->lc),build(mid+1,r,i->rc);
        i->val=i->lc->val+i->rc->val;
    }
}
inline void addTag(pNode &i,const Matrix22 &tg) //打tag
    { i->val=tg*i->val,i->tag=tg*i->tag; } //注意这里的tg需要左乘
                                           //矩阵乘法没有交换律，反过来就错了
inline void pushdown(pNode &i) //下传标记
{
    addTag(i->lc,i->tag),addTag(i->rc,i->tag);
    i->tag=Matrix22(1,0,0,1); //自己的标记重新赋为单位矩阵
}
void modify(int lq,int rq,const Matrix22 &x,int l=1,int r=n,pNode i=rt)
// 区间修改，和板子一模一样
{
    if(l>=lq && r<=rq)	addTag(i,x);
    else
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        pushdown(i);
        if(mid>=lq) modify(lq,rq,x,l,mid,i->lc);
        if(mid<rq)  modify(lq,rq,x,mid+1,r,i->rc);
        i->val=i->lc->val+i->rc->val;
    }
}
LL query(int lq,int rq,int l=1,int r=n,pNode &i=rt)
// 区间查询
{
    if(l>=lq && r<=rq)	return i->val(0,0); //这里矩阵的(0,0)位置是答案
    LL mid=(l+r)>>1,ans=0;
    pushdown(i);
    if(mid>=lq) ans+=query(lq,rq,l,mid,i->lc);
    if(mid<rq)  ans+=query(lq,rq,mid+1,r,i->rc);
    return ans%MOD;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    base(1,0)=trans(0,0)=trans(0,1)=trans(1,0)=1;
    // 你看，很方便吧（
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        a[i]=quickPow(trans,x)*base; //数组a初始化
    }
    build(1,n);
    while(m--) // 应该不用注释了
    {
        int opt,l,r,x;
        scanf("%d%d%d",&opt,&l,&r);
        if(opt==1)
            scanf("%d",&x),modify(l,r,quickPow(trans,x));
        else
            printf("%lld\n",query(l,r));
    }
    return 0;
}

这题有50多个测试点，每个测试点5s时限，因此评测异常艰辛（

调完样例后居然一遍过了，而且总时间34s感觉还行