【知识点】KMP算法详解

KMP算法

算法简介

KMP算法，即看毛片 ${Knuth-Morris-Pratt}$ 算法。是由三位计算机科学家 $D.E.Knuth、J.H.Morris、V.R.Pratt$ 提出的。该算法可以在 $O(n+m)$ 的时间复杂度内查找一个字符串在另一个字符串中的位置。

KMP算法的基本原理就是寻找模式串的公共前后缀，以优化时间复杂度。

算法原理

盗用百度的图片（推荐阅读）

首先，假设我们有一个字符串和一个需要比对的“模式串”，如图：

首先，我们一个华（bao）丽（li）的开头，就是把模式串与子串进行逐位匹配：

但是我们发现第六个字符不匹配。
按照传统的思路，我们需要将模式串右移一位，然后继续诸位比较。但是KMP算法是一个毒瘤高级算法，怎么能容忍如此赤裸裸的暴力呢？

我们发现目前已经匹配的子串中，前缀和后缀都是一样的，都是“GTG”：

所以我们惊讶地发现，我们可以直接把模式串右移到最长可匹配后缀的位置，然后继续愉快的比较

可是又出现了一个“坏字符”，我们应该如何处理呢？
没错，继续寻找可匹配最长前缀和后缀，然后再次移动模式串。

以此类推。这就是KMP算法的流程。

原理应该理解了，那么要如何实现呢？

算法实现

一、$nxt$ 数组

$nxt$ 是一个一维整型数组，数组的下标代表了“已匹配前缀的下一个位置”，元素的值则是“最长可匹配前缀子串的下一个位置”。如图所示：

其中，由于子串“G”、“GT”、“GTGTGC”没有可匹配的前缀和后缀，所以对应的 $nxt$ 值为 $0$。

只要我们求出 $nxt$ 数组，我们就可以解决寻找最长可匹配前后缀并移动模式串的问题了。

相信聪明的你已经理解了

二、求出 $nxt$ 数组

我们设两个变量，$i$ 和 $j$ ，它们分别表示“已匹配前缀的下一个位置”，也就是待填充的数组下标，和“最长可匹配前缀子串的下一个位置”，也就是待填充的数组元素值。它们的初始值如下：

求出 $nxt$ 数组的过程，就是用模式串“自己匹配自己”。

首先，我们让 $i++$ 。

此时，一匹配子串长度为 $1$ ，不存在可匹配后缀，故 $nxt[1]=0$。

我们令 $i$ 继续 $+1$。
可以发现，最长可匹配前后缀子串仍不存在，所以 $nxt[2]=0$。

当 $i$ 又一次加一时，我们发现此时的模式串 $s$ 中存在 $s[j]=s[i-1]$ ，于是 $nxt[3]=nxt[2]+1=1$ 。

现在，我们需要让 $i,\ j$ 都加一。

我们惊讶的发现，$s[j]=s[i-1]='T'$ ，所以可匹配最长前后缀子串的长度加一，即 $nxt[4]=nxt[3]+1=2$。

当 $i,\ j$ 再次同时加一后，我们找到了 $s[j]=s[i-1]='G'$，所以 $nxt[5]=nxt[4]+1=3$

可是此时的 $s[j]$ 和 $s[i-1]$ 不匹配了，怎么办呢？

按照套路，应该移动模式串了。如何移动？简单地移动一位吗？当然不，我们令 $j=nxt[j]$ 。

可是天不从人愿，我们发现字符仍然不匹配。所以再次使 $j=nxt[j]$ 。

此时， $j$ 已经无法回溯，所以 $nxt[6]=0$， $nxt$ 数组就求出来了。
推导完毕。匹配的过程也类似。

建议将 $nxt$ 数组的推导多看几遍，这样可以加深理解。因为 $nxt$ 数组的推导过程是KMP算法最反人类核心的地方。

具体代码实现

$\mathtt{Talking\ is\ cheap,\ show\ me\ the\ code.}$

void KMP(char *s1,char *s2)
{
    /* KMP算法
     * @params s1为主串，s2为模式串，l1,l2分别是它们的长度
     * @from 代码来自Luogu P3375，是一道KMP模板题
     */
    int l1=strlen(s1),l2=strlen(s2);
    int j=0;
    for(int i=2;i<=l2;i++)
    {
        while(j && s2[i]!=s2[j+1])
            j=nxt[j];
        if(s2[i]==s2[j+1])	j++;
        nxt[i]=j;
    }
    j=0;
    for(int i=1;i<=l1;i++)
    {
        while(j && s1[i]!=s2[j+1])
            j=nxt[j];
        if(s1[i]==s2[j+1])	j++;
        if(j==l2)
            printf("%d\n",i-l2+1),j=nxt[j];
    }
}

注：$Galax OJ$ 的 $KMP$ 练习题题解已经在路上啦~

恭喜你找到了练习题链接~