【讲题】Galaxy OJ 树形DP专题

树形DP专题

【题目传送门】
~~实际上我开始写题解的时候也没有全部A（我好弱）~~

T1 没有上司的舞会

首先要设计 \(DP\) 状态：

设 \(dp_{u,\ 0}\) 为当节点 \(u\) 不去时，以 \(u\) 为根的子树产生的最大欢乐值；
设 \(dp_{u,\ 1}\) 为当节点 \(u\) 去时，以 \(u\) 为根的子树产生的最大欢乐值。

我们假设现在 \(dfs\) 到节点 \(u\) ，节点 \(v\) 是 \(u\) 的一个子节点，现在我们需要分类讨论：

若 \(u\) 去，则 \(v\) 不可以去，即 \(dp_{u,\ 1}=\sum\ dp_{v,\ 0}\)；
若 \(u\) 不去，则 \(v\) 可去可不去，即 \(dp_{u,\ 0}=\sum\ max(dp_{v,\ 0},dp_{v,\ 1})\)。

综上所述，我们得到了正解。

【代码】

T2 寻宝

这是一道树上背包的题

我们设 \(dp_{u,\ i}\) 为在以 \(u\) 为根的子树上探险 \(i\) 天，所能获得的最大价值。

首先 \(dfs\) 遍历整一棵树，对于节点 \(u\) 和它的子节点 \(v\)，为了求出 \(dp_{u,i}\) 可以这样做：
先在 \([1,\ m]\) 枚举 \(i\)，接着在 \([i,\ i-2w]（w为边u \rightarrow v的边权）（没错，倒着枚举）\) 范围内枚举在以 \(v\) 为根的子树中的探险时间 \(j\) 。
所以 \(dp_{u,\ i}\) 获得了值为 \(dp_{v,\ j}\) 的增益。然而 \(i\) 天没有全部用完，所以 \(dp_{u,\ i}\) 还要加上 \(dp_{u,\ i-2w-j}\)。

综上所述，状态转移方程为 \(dp_{u,i}=max\{dp_{v,j}+dp_{u,i-2w-j}\}\)

【代码】

T3 完美服务器

这道题是 \(T1\) 的升级版。

我们发现这一道题的每一个节点都与它周围的节点有关系，于是我们仿照 \(T1\) 写出了状态转移方程：

设 \(dp_{u,\ 0}\) 为当节点 \(u\) 为服务器时，以 \(u\) 为根的子树最少设置的服务器数量；
设 \(dp_{u,\ 1}\) 为当节点 \(u\) 有一个子节点为服务器时，~
设 \(dp_{u,\ 2}\) 为当节点 \(u\) 的父亲节点为服务器时，~

接着是愉快的分类讨论推方程，我们的目标是求出 \(dp_{i,\ sta}\) ：

若 \(sta=0\) ，就表示 \(u\) 为服务器，原式的初始值为 \(1\) 。因为 \(u\) 为服务器，那么 \(v\) 的状态只可以是服务器（0）或父亲为服务器（2），即 \(dp_{u,\ 0}=1+\sum max\{dp_{v,\ 0},\ dp_{v,\ 2}\}\)；
若 \(sta=1\) ，就表示 \(u\) 的儿子中有且仅有一个服务器。我们将状态转化一下可以得到：\(dp_{i,\ 0}\) 表示 \(i\) 是服务器，父亲和儿子都不是； \(dp_{i,\ 2}\) 表示 \(i\) 的父亲是服务器，儿子节点都不是。现在我们需要枚举 \(v\) 使得 \(u\) 的儿子中仅仅有 \(v\) 是服务器时的答案，所以 \(dp_{i,\ 1}=min\{dp_{u,\ 2}-dp_{v,\ 1}+dp_{v,\ 0}\}\)；
若 \(sta=2\) ，就表示 \(u\) 的父亲是服务器，但儿子都不是。所以方程为 \(dp_{u,i}=\sum\ dp_{v,\ 1}\)。

综上所述，我写得有点累……

【代码】

T4 “访问”术馆

这一道题和 \(T2\) 是同样的做法，需要注意的是因为题目要求的是在警察赶到之前，所以答案不是 \(dp_{0,\ s}\) ，而是 \(dp_{0,\ s-1}\)。

【无代码】

T5 聚会的快乐

这是一个披着 \(T5\) 幌子的假 \(T1\) 。~~（为什么我一直是90分？！）~~

【无代码】

T6 世界杯

【题解戳这里】

T7 有线电视网

这道题也是树上背包，与T2有异曲同工之妙。

设 \(dp_{u,\ i}\) 表示在以 \(u\) 为根的子树中，选 \(i\) 个用户获得的最大收益。
假设节点 \(v\) 是 \(u\) 的一个儿子，我们在 \(u\) 的子树中选 \(i\) 名用户，在 \(v\) 的子树中选 \(j\) 名用户，可以得到： \(dp_{u,\ i}=max\{dp_{u,\ i-j}+dp_{v,\ j}\}\) 。对于每个叶子节点 \(x\) ，都有 \(dp_{x,\ 1}=w_i\ （w_i为用户支付的钱数）\) 。