匀变速直线运动的规律

一、定义：匀变速直线运动为沿一条直线且加速度恒定不变的运动，在 $(v - t)$ 图中，其表示为一条倾斜的直线。

二、关于字母的解释： $v_{0}$ 表示初始速度， $v_{t}$ 表示末速度， $t$ 表示时间， $a$ 表示加速度， $s$ 代表位移。

三、关于匀变速直线运动的公式。

物体的加速度等于物体速度的变化 $(Δ v = v_{t} - v_{0})$ 与发生这一变化所用时间 $t$ 之比，用符号 $a$ 来表示，即： $a = \frac{v_{t} - v_{0}}{t}$ ，其表示为加速度定义式。

匀变速直线运动的基本规律：

$(1)$ 速度与时间关系式： $v_{t} = v_{0} + a t$ ,（这是由加速度定义式变形得来的）

$(2)$ 利用图像得到的公式： $s = \frac{v_{0} + v_{t}}{2} \times t$ ，（实际上就是 $s = \overset{―}{v} t$ ，如下图，求梯形面积）

现在我们来推个公式

将 $(1)$ 代入 $(2)$ ：

$s = \frac{v_{0} + (v_{0} + a t)}{2} \times t$

$s = \frac{2 v_{0} + a t}{2} \times t$

$s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

这就是匀变速直线运动位移随时间变化的关系，称为匀变速直线运动的位移公式。

接下来我们用 ${\begin{cases} v_{t} = v_{0} + a t ① \\ s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} ② \end{cases}$ 来推出新式子

将 $①$ 两边平方： $v_{t}^{2} = v_{0}^{2} + 2 v_{0} a t + a^{2} t^{2}$

移项： $v_{t}^{2} - v_{0}^{2} = 2 v_{0} a t + a^{2} t^{2}$

合并同类项： $v_{t}^{2} - v_{0}^{2} = a (2 v_{0} t + a t^{2})$

发现此时的 $(2 v_{0} t + a t^{2})$ 与 $②$ 很像，就是两倍关系！

所以将 $②$ 代入： $v_{t}^{2} - v_{0}^{2} = 2 a s$

这就是速度与位移的关系式。

最后我们再推一个式子，还是用 ${\begin{cases} v_{t} = v_{0} + a t ① \\ s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} ② \end{cases}$ 来推

将 $①$ 变形得到： $v_{0} = v_{t} - a t ③$

将 $②$ 也变形： $s = (v_{0} + \frac{1}{2} a t) \times t$

将 $\frac{1}{2} a t$ 变成 $a t - \frac{1}{2} a t$ ： $s = (v 0 + a t - \frac{1}{2} a t) \times t$

将 $③$ 代入 $②$ ： $s = [(v_{t} - a t) + a t - \frac{1}{2} a t] \times t$

合并一下： $s = v_{t} t - \frac{1}{2} a t^{2}$

这也是一个关系式。

总结一下：每个公式都有各自的优势，依据已知的条件选择恰当的公式。