P9744 「KDOI-06-S」消除序列

这道题在比赛时先花了一个小时理解好题意才打了一个 $70$ 分的 $O (n^{2})$ 暴力。下午刚起床，有点困，还没进入状态，打得挺慢。

具体地，会发现操作实际上是在这个长度为 $n$ 的序列找一个点 $i$ ，将 $[0, i]$ 通过操作 $1$ 全变 $0$ ，设 $x = \sum_{k \in P} (k \leq i) \times c_{k}$ ， $y = \sum_{k = i + 1}^{n} b_{i} - \sum_{k \in P} (k > i) \times b_{k}$ ，说人话就是 $x$ 表示把前面已经统一为 $0$ 的区间再把一些值变回 $1$ 使得区间 $[0, i]$ 满足限制的代价， $y$ 表示后面没有统一变为 $0$ 的区间把一些值变为 $0$ 使得区间 $[i + 1, n + 1]$ 满足限制的代价，那么该操作的总代价为 $a_{i} + x + y$ ，考虑直接枚举 $i$ ，边扫边维护，对于每个 $i$ ， $O (1)$ 求出来然后答案取 $m i n$ ，总复杂度 $O (n q)$ ，可拿到 $70$ 分。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 500001
using namespace std;
ll n,a[N],b[N],c[N],q,m,p[N],tr[N<<2],sumb,ans;
int main(){ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>b[i],sumb+=b[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>c[i];
	cin>>q;
	while(q--){ll sumc=0,sum=sumb;
		cin>>m,ans=1000000000000000;
		for(int i=1;i<=m;i++)cin>>p[i],sum-=b[p[i]];
		for(int i=0,j=1;i<=n;i++){
			if(j<=m&&i>=p[j])sumc+=c[p[j]],j++;
			else sum-=b[i];
			ans=min(ans,a[i]+sumc+sum);
		}
		cout<<ans<<'\n';
	}
}

考虑优化，这道题我第一眼线段树，但一开始脑子抽了，打了暴力后才想到怎么维护，花了 $30$ 分钟调出来。整道题花了我一个半小时，感觉打得有点慢。

考虑 $v_{i}$ 和 $v_{i + 1}$ 之间，发现 $[v_{i}, v_{i + 1})$ 区间中任意取的 $a$ ，加的 $x$ 是相等的。

那么我们可以对于每个 $[l, r]$ ，线段树维护 $min_{l \leq i \leq r} a_{i}$ 。

但我们发现虽然 $[v_{i}, v_{i + 1})$ 之间加的 $x$ 是相同的，但是 $y$ 不相同，这样维护的线段树不能确保能找到总代价最小的值。

我们能不能用线段树维护 $min_{l \leq i \leq r} a_{i} + y$ 呢？我们发现只需要开一个关于 $b$ 的后缀树组 $s u m b$ ，因为我们只需要维护区间 $[v_{i}, v_{i + 1})$ 中 $y$ 的相对大小。所以可以线段树维护 $min_{l \leq i \leq r} a_{i} + s u m b_{i}$ 。区间查询 $[v_{i}, v_{i + 1})$ 后只需再减去 $s u m b$ 多加上的 b，时间复杂度 $O (l o g n \sum m)$ 。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 500001
using namespace std;
ll n,a[N],b[N],c[N],q,m,p[N],tr[N<<2],sumb[N],ans;
void build(ll rt,ll l,ll r){if(l==r){tr[rt]=a[l]+sumb[l];return;}
	ll mid=(r+l)>>1;
	build(rt<<1,l,mid),build(rt<<1|1,mid+1,r);
	tr[rt]=min(tr[rt<<1],tr[rt<<1|1]); 
}
ll ask(ll rt,ll l,ll r,ll x,ll y){if(x<=l&&r<=y){return tr[rt];}
	ll mid=(r+l)>>1,minn=1000000000000000;
	if(mid>=x)minn=min(minn,ask(rt<<1,l,mid,x,y));
	if(mid<y)minn=min(minn,ask(rt<<1|1,mid+1,r,x,y));
	return minn;
}
int main(){//freopen("reserve.in","r",stdin),freopen("reserve.out","w",stdout); 
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>b[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>c[i];
	for(int i=n;i>=0;i--)sumb[i]=sumb[i+1]+b[i+1];
	cin>>q,build(1,0,n);
	while(q--){ll sumc=0,sum=0;
		cin>>m,ans=1000000000000000;
		for(int i=1;i<=m;i++)cin>>p[i],sum+=b[p[i]];
		p[m+1]=n+1;
		for(int i=0;i<=m;i++){ll x=p[i],y=p[i+1]-1,res=ask(1,0,n,x,y);
			res-=(sum-=b[p[i]]),sumc+=c[p[i]];
			ans=min(ans,res+sumc);
		}
		cout<<ans<<'\n';
	}
}